Tomcat运行一段时间后访问变慢的原因可能有以下几点：
内存泄漏：Tomcat运行一段时间后，可能会出现内存泄漏的情况，导致内存占用不断增加，最终导致性能下降。这可能是由于代码中存在未关闭的资源、不当的缓存使用或者其他内存管理问题导致的。
线程资源耗尽：Tomcat默认使用线程池来处理请求，如果线程池中的线程资源被占用完毕，新的请求将无法得到及时处理，从而导致访问变慢。这可能是由于请求处理时间过长、并发请求过多或者线程池配置不合理等原因引起的。
数据库连接池问题：如果应用程序使用数据库连接池来管理数据库连接，连接池可能存在问题导致连接资源无法及时释放，从而导致数据库连接不够用，最终导致访问变慢。这可能是由于连接池配置不合理、连接泄漏或者数据库服务器响应延迟等原因引起的。
缓存问题：如果应用程序使用了缓存来提高性能，但是缓存的数据更新不及时或者缓存存储空间不足，可能导致缓存命中率下降，从而访问变慢。
应用程序代码问题：应用程序中存在性能较差的代码逻辑、低效的算法或者资源竞争等问题，可能导致Tomcat运行一段时间后访问变慢。
针对以上可能的原因，可以通过监控Tomcat的内存、线程和数据库连接等指标，进行性能分析和调优，以解决访问变慢的问题。