python中伯努利分布的示例分析

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伯努利分布 是一种离散分布,有两种可能的结果。1表示成功，出现的概率为p(其中0<p<1)。0表示失败，出现的概率为q=1-p。这种分布在人工智能里很有用，比如你问机器今天某飞机是否起飞了，它的回复就是Yes或No，非常明确，这个分布在分类算法里使用比较多，因此在这里先学习 一下。

概率分布有两种类型：离散（discrete）概率分布和连续（continuous）概率分布。

离散概率分布也称为概率质量函数（probability mass function）。离散概率分布的例子有伯努利分布（Bernoulli distribution）、二项分布（binomial distribution）、泊松分布（Poisson distribution）和几何分布（geometric distribution）等。

连续概率分布也称为概率密度函数（probability density function），它们是具有连续取值（例如一条实线上的值）的函数。正态分布（normal distribution）、指数分布（exponential distribution）和β分布（beta distribution）等都属于连续概率分布。

from scipy.stats import binom #导入伯努利分布
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
#次数
n = 10
#概率
p = 0.3
#导入特征系数
k = np.arange(0, 21)
#伯努利分布的特征值导入
binomial = binom.pmf(k, n, p)
plt.plot(k, binomial, 'o-')
plt.title('Binomial: n = %i, p=%0.2f' % (n, p), fontsize=15)
plt.xlabel('Number of successes')
plt.ylabel('Probability of sucesses', fontsize=15)
plt.savefig(r'C:\Users\Administrator\Desktop\106\data\textdata\12.png')
plt.show()

二项分布：离散型概率分布，n 重伯努利分布

如果随机变量序列 Xn(n=1, 2, …) 中的随机变量均服从与参数为 p 的伯努利分布，那么随机变量序列 Xn 就形成了参数为 p 的 n 重伯努利试验。例如，假定重复抛掷一枚均匀硬币 n 次，如果在第 i 次抛掷中出现正面，令 Xi=1；如果出现反面，则令 Xi=0。那么，随机变量 Xn(n=1, 2, …) 就形成了参数为 1/2 的 n 重伯努利试验。

可见，n 重伯努利试验需满足下列条件：

每次试验只有两种结果，即 X=1，或 X=0

各次试验中的事件互相独立，且 X=1 和 X=0 的概率分别为 p(0<p<1) 和 q=1-p

n 重伯努利试验的结果就是 n 重伯努利分布，即二项分布。反之，当 Xn(n=1) 时，二项分布的结果服从于伯努利分布。因为二项分布实际上是进行了 n 次的伯努利分布，所以二项分布的离散型随机变量期望为 E(x)=np，方差为 D(x)=np(1-p) 。

需要注意的是，满足二项分布的样本空间有一个非常重要的性质，假设进行 n 次独立试验，满足二项分布（每次试验成功的概率为 p，失败的概率为 1−p），那么成功的次数 X 就是一个参数为 n 和 p 的二项随机变量，即满足下述公式：

P(X=k) = C(n, k) * p^k * (1-p)^(n-k)

X=k，试验 n 次，成功的次数恰好有 k 次的随机变量（事件）

C(n, k)，表示从集合 n 中取出 k 个元素的组合数，结果为 n!/(k!*(n-k)!)

例如，小明参加雅思考试，每次考试的通过率 1/3，不通过率为 q=2/3。如果小明连续参加考试 4 次，那么恰好有两次通过的概率是多少？

解析：因为每次考试只有两种结果，通过或不通过，符合条件 (1)；每次考试结果互相独立，且概率不变，符合条件 (2)。满足二项分布样本，代入公式求解得概率为：C(4, 2)*(1/2)^2*(2/3)^(4-2) ≈ 8/27

二项分布概率直方图：

图形特性：

当 p=q 时，图形是对称的

当 p≠q 时，图形呈偏态，p<q 与 p>q 的偏斜方向相反

当 (n+1)p 不为整数时，二项概率 P(X=k) 在 k=(n+1)*p 时达到最大值

当 (n+1)p 为整数时，二项概率 P(X=k) 在 k=(n+1)*p 和 k=(n+1)*p-1 时达到最大值

NOTE：当 n 很大时，即使 p≠q，二项分布概率直方图的偏态也会逐渐降低，最终成为正态分布。也就是说，二项分布的极限情形即为正态分布，故当 n 很大时，二项分布的概率可用正态分布的概率作为近似值。那么 n 需要多大才可谓之大呢?

一般规定，当 p<q 且 np≥5，或 p>q 且 nq≥5 时，这时的 n 就足够大了，可以用正态分布的概率作为近似值。则正态分布参数 μ=np，σ^2=np(1-p) 。

二项分布:

from scipy.stats import binom 
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
fig,ax = plt.subplots(1,1)
n = 100
p = 0.5
#平均值, 方差, 偏度, 峰度
mean,var,skew,kurt=binom.stats(n,p,moments='mvsk')
print(mean,var,skew,kurt)
#ppf:累积分布函数的反函数。q=0.01时，ppf就是p(X<x)=0.01时的x值。
x=np.arange(binom.ppf(0.01,n,p),binom.ppf(0.99,n,p))
ax.plot(x,binom.pmf(x,n,p),'o')
plt.rcParams['font.sans-serif']=['SimHei']
plt.title(u'二项分布概率质量函数')
plt.savefig(r'C:\Users\Administrator\Desktop\106\data\textdata\1.png')
plt.show()

补充拓展：python--scipy--1离散概率分布:伯努利分布

#导入包
#数组包
import numpy as np
#绘图包
import matplotlib.pyplot as plt
#统计计算包的统计模块
from scipy import stats
'''
arange用于生成一个等差数组，arange([start, ]stop, [step, ]
使用见文档：https://docs.scipy.org/doc/numpy/reference/generated/numpy.arange.html
'''

'''
第1步，定义随机变量：1次抛硬币
成功指正面朝上记录为1，失败指反面朝上记录为0
'''
X = np.arange(0, 2,1)
X

array([0, 1])

'''
伯努利分布官方使用文档：
https://docs.scipy.org/doc/scipy/reference/generated/scipy.stats.bernoulli.html#scipy.stats.bernoulli
'''
#第2步，#求对应分布的概率:概率质量函数 (PMF)
#它返回一个列表，列表中每个元素表示随机变量中对应值的概率
p = 0.5 # 硬币朝上的概率
pList = stats.bernoulli.pmf(X, p)
pList

array([0.5, 0.5])

#第3步，绘图
'''
plot默认绘制折线，这里我们只绘制点，所以传入下面的参数：
marker：点的形状，值o表示点为圆圈标记（circle marker）
linestyle：线条的形状，值None表示不显示连接各个点的折线
'''
plt.plot(X, pList, marker='o',linestyle='None')
'''
vlines用于绘制竖直线(vertical lines),
参数说明：vline(x坐标值, y坐标最小值, y坐标值最大值)
我们传入的X是一个数组，是给数组中的每个x坐标值绘制竖直线，
竖直线y坐标最小值是0，y坐标值最大值是对应pList中的值
官网文档：https://matplotlib.org/api/pyplot_api.html#matplotlib.pyplot.vlines
'''
plt.rcParams['font.sans-serif']=['SimHei'] 
plt.vlines(X, 0, pList)
#x轴文本
plt.xlabel('随机变量：抛硬币1次')
#y轴文本
plt.ylabel('概率')
#标题
plt.title('伯努利分布：p=%.2f' % p)
#显示图形
plt.show()

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