第一章 随机事件和概率

发布时间:2020-07-29 17:28:37 作者:一杯千岁醉
来源:网络 阅读:929


第一章     随机事件和概率



§ 1.1 随机事件和样本空间第一章 随机事件和概率

    概率论的任务是寻求随机现象发生的可能性,并对这种可能性的大小给出度量方式及其算法

    随机试验是对随机现象的观察

        ① 可在相同条件下重复进行

        ② 每次试验可能出现不同的结果,最终出现哪种结果,试验之前不能确定

        ③事先知道试验可能出现的全部结果

    随机试验的每一个可能结果成为一个随机事件,简称事件

        事件分为基本事件和复合事件。又可分为必然事件(记做Ω)和不可能事件(记做

    样本空间:一个随机试验E产生的所有基本事件构成的集合称为样本空间(记做Ω),称其中元素为一个样本点,

    记做ω。 Ω={ω}。



§ 1.2 事件的关系和运算第一章 随机事件和概率

    ① 事件的包含与相等

    ② 事件的和(并)与积(交)

    ③ 互不相容事件与对立事件

        设A、B为两事件,若A和B不能同时发生,即AB=,则称A和B是互不相容事件或互斥事件

        若A、B互不相容,且他们的和为必然事件,即AB=及A∪B=Ω,则称A和B为对立事件或互为逆事件

    ④ 两事件的差

        设A、B为两事件,“事件A发生而事件B不发生”是一个事件,称为事件A和B的差事件,记做A-B

    事件的运算性质:

    ① 交换律:A∪B=B∪A,AB=BA;

    ② 结合律:A∪(B∪C)=(A∪B)∪C,(AB)C=A(BC);

    ③ 分配律:A(B∪C)=(AB)∪(AC),

               A∪(BC)=(A∪B)(A∪C);

    ④ 德摩根(De Morgan)对偶律:

        (A∪B)的逆=A的逆交B的逆;    AB的逆=A的逆∪B的逆



§ 1.3 事件的概率及其计算第一章 随机事件和概率

    概率的统计定义——定义1.1: P(A)≈n/N

        ① 非负性 ② 规范性 ③ 有限可加性

    古典型概率:① 有限性 ②等可能性

        P(A)=(A中所有样本点数)/Ω中样本点总数=m/n

        n的计数规则:加法原理、乘法原理

    超几何分布

    几何型概率



§ 1.4 概率的公理化定义第一章 随机事件和概率

    设有随机试验E,E的样本空间为Ω,记包括Ω在内的E的所有事件组成的集合族为£,若对£中的任一个事件A

    都能赋予一个实数P(A),且P(A)满足条件:

        ① 非负性:0<=P(A)<=1

        ② 规范性:P(Ω)=1

        ③ 可列可加性: 对两两互不相容的事件A,A,A…,有

                    P((i=1,)∑Ai)=(i=1,)∑P(Ai

            则称P(A)为事件A的概率

    性质1:不可能事件概率为0,即P()=0

    性质2: 有限可加性

    性质3:(逆事件)P(A的逆)=1-P(A)

    性质4: P(A-B)=P(A-AB)=P(A)-P(AB)

    性质5: (加法公式)设A、B、C为任意三个事件,P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)

            P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)



§ 1.5 条件概率和事件的独立性第一章 随机事件和概率

    条件概率:P(A|B)=P(AB)/P(B)

        非负性:0<=P(A|B)<=1

        规范性:P(Ω|B)=1

        可列可加性:

    P(A的逆|B)=1-P(A|B)

    乘法公式: P(AB)=P(A|B)P(B)  当P(B)>0时

                P(AB)=P(B|A)P(A)

    全概率公式(定理1.1):设样本空间Ω的一个划分为A,A,A…,且P(Ai)>0,i=1,2,...,n,则对任一事件B

    含于Ω,有    P(B)=(i=1,n)∑P(B|Ai)P(Ai)

    贝叶斯公式: 设A,A,A… 为一个样本空间Ω的一个划分,且P(Ai)>0,i=1,2,3,...,n.对任意的随机事件B

    含于Ω,若P(B)>0,则P(Ai|B)=P(B|Ai)P(Ai)/((j=1,n)P(B|Aj)P(Aj)

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概率论 第一

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