求质数的各种算法

首先声明本人水平有限，仅仅做一下记录，有错的地方请指正，文章垃圾请包容！！

在网上不小心浏览到一篇技术博客，叫做《求质数算法的N种境界（N>10）》，写得很好，有兴趣的读者自己去搜索。然后就想自己去试试这篇博客里写得各种求质数的方法。

不想搭环境，就暂时用了PHP语言，在apache里运行，简易测试一下。

首先明确一下概念

质数（prime number）又称素数，有无限个。质数定义为在大于1的自然数中，

除了1和它本身以外不再有其他因数的数称为质数。

100以内质数表

2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47

53 59 61 67 71 73 79 83 89 97

质数的个数是无穷的。

相对的就是合数

合数，数学用语，英文名为Composite number，指自然数中除了能被1和本身整除外，

还能被其他数（0除外）整除的数（如：4，6，8，9，10）。

与之相对的是质数，而1既不属于质数也不属于合数。最小的合数是4。

以下是求100以内的质数算法

//1.最基础的写法

$a = 1;//序号，标识个数

for($i = 2; $i < 101; $i++) {

$primes = 0;

for($k = 1; $k <= $i; $k++)

if($i%$k === 0) $primes++;

if($primes <= 2){ // 能除以1和自身的整数(不包括0)

echo $a . ".{$i}

";

$a++;

}

}

//2.考虑所有数都可以被1整除和

//如果有（除了自身以外的）质因数，那肯定会小于等于 $i/2，所以 $i/2

//这里不能轻易将第一个算法的语句for($k = 1; $k <= $i; $k++)改成

//for($k = 1; $k <= $i/2; $k++); 原因自己试试就知道了

$a = 1;//序号，标识个数

for($i = 2; $i < 101; $i++) {

$primes = 0;

for($k = 2; $k <= $i/2; $k++)

if($i%$k === 0) $primes++;

if($primes <= 0){ // 能除以1和自身的整数(不包括0)

echo $a . ".{$i}

";

$a++;

}

}

//3.进一步想除了2以外，所有可能的质因数都是奇数。

//所以先测试2，然后再测试3到$i/2的所有奇数。

//关键特殊考虑数字2

$a = 1;//序号，标识个数

for($i = 2; $i < 101; $i++) {

$primes = 0;

if($i != 2 && $i%2 === 0) $primes++;

for($k = 3; $k <= $i/2; $k=$k+2) if($i%$k === 0) $primes++;

if($primes <= 0){ // 能除以1和自身的整数(不包括0)

echo $a . ".{$i}

";

$a++;

}

}

//4.其实只要从 2 一直尝试到√x（开平方），就可以了。

$a = 1;//序号，标识个数

for($i = 2; $i < 101; $i++) {

$primes = 0;

if($i != 2 && $i%2 === 0) $primes++;

for($k = 3; $k <= sqrt($i); $k=$k+2) if($i%$k === 0) $primes++;

if($primes <= 0){ // 能除以1和自身的整数(不包括0)

echo $a . ".{$i}

";

$a++;

}

}

//5.其实只要从 2 一直尝试到√x（开平方）其中的所有质数就可以

//算法理论中经常提到的：以空间换时间。就是先存之前的结果再拿来用

//以下本人写得只是用一个数组来实现这个算法，本人技术有限，不知这样是否准确理解原博

//客作者的意图，就当随便看看吧

$arr =array();

$a = 1;//序号，标识个数

for($i = 2; $i < 101; $i++) {

$primes = 0;

if($i != 2 && $i%2 === 0) $primes++;

if(!empty($arr)){

foreach($arr as $key => $value){

    if($value <= sqrt($i)){

        if($i%$value === 0) $primes++;

    }

}

}

if($primes <= 0){ // 能除以1和自身的整数(不包括0)

array_push($arr,$i);

echo $a . ".{$i}

";

$a++;

}

}

接下来，我们做一下简单的性能测试，比较一下各个算法的优劣，仅仅从时间上考虑以下是测试结果

因为算法1，2,3差异性不是很大，不做比较，比较以下1,4,5的优劣

100以内

算法一

[time:0.0009×××752075195]s

算法五

[time:0.0010001659393311]s

结果显示在100以内差异性不大

1000以内

算法一

[time:0.059004068374634]s

算法四

[time:0.004000186920166]s

算法五

[time:0.035001993179321]s

结果显示在1000以内，算法四已经凸显优势了

10000以内

算法一

[time:4.537260055542]s

算法四

[time:0.19901204109192]s

算法五

[time:1.9741129875183]s

结果显示在10000以内，算法一已经不行了

算法五也不行了

100000以内

算法一

[time:542.75104403496]s

算法四

[time:3.6972119808197]s

算法五

[time:164.25539493561]s

结果显示在100000以内，除了算法四可行，其他都不行

总结：开始以为算法五会更胜一筹，不知道是我写法垃圾，还是php数组的底层问题，也可能我不理解空间换时间的本质，所以目前还是算法4最优了。

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