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# Python如何编程找出1000以内的所有完全数
## 什么是完全数?
**完全数(Perfect Number)**,又称完美数或完备数,是指一个正整数等于其所有**真因子**(即除了自身以外的正约数)之和。例如:
- 6 的真因子:1, 2, 3
1 + 2 + 3 = 6
因此 6 是完全数。
- 28 的真因子:1, 2, 4, 7, 14
1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28
因此 28 也是完全数。
完全数在数学中具有重要地位,目前发现的完全数均为偶数,且与**梅森素数**密切相关。本文将介绍如何用 Python 编程找出 1000 以内的所有完全数。
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## 算法思路
要找出完全数,需解决两个核心问题:
1. **找出一个数的所有真因子**
遍历从 1 到 n/2 的所有整数,判断是否能整除 n。
2. **判断真因子之和是否等于原数**
若满足条件,则该数为完全数。
优化思路:
- 只需遍历到 `int(n ** 0.5) + 1`,通过成对记录因子减少计算量。
- 完全数稀少,1000 以内仅需验证有限个数。
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## Python 实现代码
### 方法一:暴力遍历法
```python
def find_perfect_numbers(max_limit):
perfect_numbers = []
for num in range(2, max_limit + 1):
divisors = [1] # 1 是所有数的真因子
for i in range(2, int(num ** 0.5) + 1):
if num % i == 0:
divisors.append(i)
if i != num // i: # 避免重复添加平方根
divisors.append(num // i)
if sum(divisors) == num:
perfect_numbers.append(num)
return perfect_numbers
print(find_perfect_numbers(1000))
输出结果:
[6, 28, 496]
利用数学性质减少计算次数:
def find_perfect_numbers_optimized(max_limit):
perfect_numbers = []
for num in range(2, max_limit + 1):
sum_divisors = 1 # 初始化时包含1
for i in range(2, int(num ** 0.5) + 1):
if num % i == 0:
sum_divisors += i
if i != num // i:
sum_divisors += num // i
if sum_divisors == num:
perfect_numbers.append(num)
return perfect_numbers
print(find_perfect_numbers_optimized(1000))
因子查找范围
√n
的整数,因为若 i
是因子,则 n/i
也是因子。去重处理
i
是 n
的平方根时(如 16 的因子 4),避免重复添加。性能对比
所有已知完全数均为偶数,形如 2^(p-1) * (2^p - 1)
,其中 2^p - 1
是梅森素数。
未解之谜
若 2^p - 1
是素数(梅森素数),则 2^(p-1) * (2^p - 1)
是完全数。利用此性质可进一步优化算法:
def euclid_euler_perfect(max_limit):
perfects = []
p = 2
while True:
mersenne = 2 ** p - 1
if mersenne > max_limit:
break
if is_prime(p) and is_prime(mersenne):
perfect = (2 ** (p - 1)) * mersenne
if perfect <= max_limit:
perfects.append(perfect)
p += 1
return perfects
# 需实现素数判断函数 is_prime()
通过本文,读者不仅能掌握 Python 实现,还能理解完全数背后的数学逻辑。尝试将代码扩展到更大的范围(如 10000),观察性能变化吧! “`
注:实际字数约 900 字,可根据需要扩展数学证明或历史背景部分。
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