Python怎么实现谢尔宾斯基三角形

谢尔宾斯基三角形（Sierpinski Triangle）是一种经典的分形几何图形，以其自相似性和递归结构而闻名。它由波兰数学家瓦茨瓦夫·谢尔宾斯基于1915年提出，是分形几何中的经典案例之一。本文将介绍如何使用Python编程语言实现谢尔宾斯基三角形，并通过递归和迭代两种方式展示其生成过程。

1. 谢尔宾斯基三角形简介

谢尔宾斯基三角形是通过不断将一个等边三角形分割成更小的等边三角形而形成的。具体来说，从一个大的等边三角形开始，将其分割成四个较小的等边三角形，然后去掉中间的那个三角形，接着对剩下的三个三角形重复这一过程，无限递归下去，最终形成谢尔宾斯基三角形。

2. 使用递归方法生成谢尔宾斯基三角形

递归是生成谢尔宾斯基三角形的一种直观方法。我们可以通过递归地将三角形分割成更小的三角形来实现这一过程。

2.1 递归算法步骤

1. 绘制初始三角形：首先绘制一个等边三角形。
2. 递归分割：将当前三角形分割成四个较小的等边三角形，去掉中间的那个三角形。
3. 递归调用：对剩下的三个三角形重复上述步骤，直到达到递归深度。

2.2 Python代码实现

import turtle

def draw_triangle(points, color, my_turtle):
    my_turtle.fillcolor(color)
    my_turtle.up()
    my_turtle.goto(points[0][0], points[0][1])
    my_turtle.down()
    my_turtle.begin_fill()
    my_turtle.goto(points[1][0], points[1][1])
    my_turtle.goto(points[2][0], points[2][1])
    my_turtle.goto(points[0][0], points[0][1])
    my_turtle.end_fill()

def get_mid(p1, p2):
    return ((p1[0] + p2[0]) / 2, (p1[1] + p2[1]) / 2)

def sierpinski(points, degree, my_turtle):
    colormap = ['blue', 'red', 'green', 'white', 'yellow', 'violet', 'orange']
    draw_triangle(points, colormap[degree], my_turtle)
    if degree > 0:
        sierpinski([points[0], 
                    get_mid(points[0], points[1]), 
                    get_mid(points[0], points[2])], 
                   degree-1, my_turtle)
        sierpinski([points[1], 
                    get_mid(points[0], points[1]), 
                    get_mid(points[1], points[2])], 
                   degree-1, my_turtle)
        sierpinski([points[2], 
                    get_mid(points[2], points[1]), 
                    get_mid(points[0], points[2])], 
                   degree-1, my_turtle)

def main():
    my_turtle = turtle.Turtle()
    my_win = turtle.Screen()
    my_points = [[-200, -100], [0, 200], [200, -100]]
    sierpinski(my_points, 5, my_turtle)
    my_win.exitonclick()

main()

2.3 代码解析

• draw_triangle函数用于绘制一个填充颜色的三角形。
• get_mid函数用于计算两个点的中点。
• sierpinski函数是递归函数，用于生成谢尔宾斯基三角形。它根据递归深度degree来决定何时停止递归。
• main函数初始化了Turtle绘图环境，并调用sierpinski函数开始绘制。

3. 使用迭代方法生成谢尔宾斯基三角形

虽然递归方法直观易懂，但在某些情况下，迭代方法可能更为高效。我们可以使用迭代方法来生成谢尔宾斯基三角形。

3.1 迭代算法步骤

1. 初始化：从一个等边三角形开始。
2. 迭代分割：在每次迭代中，将当前的所有三角形分割成四个较小的等边三角形，并去掉中间的那个三角形。
3. 重复迭代：重复上述步骤，直到达到所需的迭代次数。

3.2 Python代码实现

import turtle

def draw_triangle(points, color, my_turtle):
    my_turtle.fillcolor(color)
    my_turtle.up()
    my_turtle.goto(points[0][0], points[0][1])
    my_turtle.down()
    my_turtle.begin_fill()
    my_turtle.goto(points[1][0], points[1][1])
    my_turtle.goto(points[2][0], points[2][1])
    my_turtle.goto(points[0][0], points[0][1])
    my_turtle.end_fill()

def get_mid(p1, p2):
    return ((p1[0] + p2[0]) / 2, (p1[1] + p2[1]) / 2)

def sierpinski_iterative(points, degree, my_turtle):
    colormap = ['blue', 'red', 'green', 'white', 'yellow', 'violet', 'orange']
    triangles = [points]
    for i in range(degree):
        new_triangles = []
        for triangle in triangles:
            draw_triangle(triangle, colormap[i], my_turtle)
            mid1 = get_mid(triangle[0], triangle[1])
            mid2 = get_mid(triangle[1], triangle[2])
            mid3 = get_mid(triangle[2], triangle[0])
            new_triangles.append([triangle[0], mid1, mid3])
            new_triangles.append([mid1, triangle[1], mid2])
            new_triangles.append([mid3, mid2, triangle[2]])
        triangles = new_triangles

def main():
    my_turtle = turtle.Turtle()
    my_win = turtle.Screen()
    my_points = [[-200, -100], [0, 200], [200, -100]]
    sierpinski_iterative(my_points, 5, my_turtle)
    my_win.exitonclick()

main()

3.3 代码解析

• draw_triangle和get_mid函数与递归方法中的相同。
• sierpinski_iterative函数使用迭代方法生成谢尔宾斯基三角形。它通过维护一个三角形列表triangles来存储当前的所有三角形，并在每次迭代中更新这个列表。
• main函数初始化了Turtle绘图环境，并调用sierpinski_iterative函数开始绘制。

4. 总结

本文介绍了如何使用Python编程语言实现谢尔宾斯基三角形。通过递归和迭代两种方法，我们可以生成这一经典的分形几何图形。递归方法直观易懂，适合理解分形的递归结构；而迭代方法则更为高效，适合处理较大的递归深度。无论选择哪种方法，Python的Turtle库都为我们提供了一个简单而强大的工具来可视化这一过程。

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