RSA算法及其数学原理证明

发布时间：2020-08-01 19:18:52 作者：wh6926981
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RSA算法是一种非对称密码算法，所谓非对称，就是指该算法需要一对密钥，使用其中一个加密，则需要用另一个才能解密。

RSA的算法涉及三个参数，n、e1、e2。

其中，n是两个大质数p、q的积，n的二进制表示时所占用的位数，就是所谓的密钥长度。

e1和e2是一对相关的值，e1可以任意取，但要求e1与(p-1)*(q-1)互质；再选择e2，要求(e2*e1)mod((p-1)*(q-1))=1。

(n，e1),(n，e2)就是密钥对。其中 (n，e1)为公钥，(n，e2)为私钥。

RSA加解密的算法完全相同，设A为明文，B为密文，则：B≡A^e2 mod n；A=B^e1 mod n；

e1和e2可以互换使用，即:B≡A^e1 mod n；A=B^e2 mod n;

"≡":同余符号　

含义:两个整数a,b,若它们除以整数m所得的余数相等,则称a,b对于模m同余

记作 a ≡ b (mod m)

读作a同余于b模m，或读作a与b关于模m同余

比如 26 ≡ 14 (mod 12)

同余性质定理：

1 反身性 a ≡ a (mod m)

2 对称性若a ≡ b(mod m) 则b ≡ a (mod m)

3 传递性若a ≡ b (mod m)，b ≡ c (mod m),则a ≡ c (mod m)

4 同余式相加若a ≡ b (mod m)，c≡d(mod m)，则a+-c≡b+-d（mod m）

5 同余式相乘若a ≡ b (mod m)，c≡d(mod m)，则ac≡bd（mod m）

6 乘方如果a ≡ b (mod m)，那么a^n ≡ b^n (mod m)

7 欧拉定理

设a,m∈N,(a,m)=1,则a^(φ(m))≡1(mod m)

(注:φ(m)指模m的简系个数， φ(m)=m-1, 如果m是素数；φ(m=q1^r1 * q2^r2 * ...*qi^ri)=m (1-1/q1)(1-1/q2)...(1-1/qi))

推论: 费马小定理: 若p为质数，则a^p ≡ a (mod p) 即a^(p-1) ≡ 1 (mod p)

（但是当p|a时不等价）

RSA证明过程：

<前提>

若 p, q 是相异质数, rm == 1 mod (p-1)(q-1),
a 是任意一个正整数, b == a^m mod pq, c == b^r mod pq

gcd(m,pq)=1
<结论>

c == a mod pq

<使用定理>

证明的过程, 会用到费马小定理, 叙述如下:
m 是任一质数, n 是任一整数, 则 n^m == n mod m
(换另一句话说, 如果 n 和 m 互质, 则 n^(m-1) == 1 mod m)

<证明>
因为 rm == 1 mod (p-1)(q-1), 所以 rm = k(p-1)(q-1) + 1, 其中 k 是整数
因为在 modulo 中是 preserve 乘法的
(x == y mod z and u == v mod z => xu == yv mod z),
所以, c == b^r == (a^m)^r == a^(rm) == a^(k(p-1)(q-1)+1) mod pq

1. 如果 a 不是 p 的倍数, 也不是 q 的倍数时,
    则 a^(p-1) == 1 mod p (费马小定理)   =>   a^(k(p-1)(q-1)) == 1 mod p
       a^(q-1) == 1 mod q (费马小定理)   =>   a^(k(p-1)(q-1)) == 1 mod q
    所以 p, q 均能整除 a^(k(p-1)(q-1)) - 1   =>   pq | a^(k(p-1)(q-1)) - 1
    即 a^(k(p-1)(q-1)) == 1 mod pq
    =>   c == a^(k(p-1)(q-1)+1) == a mod pq

2. 如果 a 是 p 的倍数, 但不是 q 的倍数时,
    则 a^(q-1) == 1 mod q (费马小定理)
    =>   a^(k(p-1)(q-1)) == 1 mod q
    =>   c == a^(k(p-1)(q-1)+1) == a mod q
    =>   q | c - a
    因 p | a
    =>   c == a^(k(p-1)(q-1)+1) == 0 mod p
    =>   p | c - a
    所以, pq | c - a   =>   c == a mod pq

3. 如果 a 是 q 的倍数, 但不是 p 的倍数时, 证明同上

4. 如果 a 同时是 p 和 q 的倍数时,
    则 pq | a
    =>   c == a^(k(p-1)(q-1)+1) == 0 mod pq
    =>   pq | c - a
    =>   c == a mod pq

这个定理说明 a 经过编码为 b 再经过解码为 c 时, a == c mod n (n = pq)....
但我们在做编码解码时, 限制 0 <= a < n, 0 <= c < n,
所以这就是说 a 等於 c, 所以这个过程确实能做到编码解码的功能.....

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