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# Python 中 SymPy 如何使用
## 目录
1. [SymPy 简介](#1-sympy-简介)
2. [安装与环境配置](#2-安装与环境配置)
3. [基础符号运算](#3-基础符号运算)
- [3.1 定义符号](#31-定义符号)
- [3.2 符号表达式](#32-符号表达式)
4. [代数运算](#4-代数运算)
- [4.1 多项式操作](#41-多项式操作)
- [4.2 方程求解](#42-方程求解)
5. [微积分](#5-微积分)
- [5.1 求导与微分](#51-求导与微分)
- [5.2 积分计算](#52-积分计算)
- [5.3 极限与级数](#53-极限与级数)
6. [线性代数](#6-线性代数)
- [6.1 矩阵操作](#61-矩阵操作)
- [6.2 特征值与特征向量](#62-特征值与特征向量)
7. [绘图功能](#7-绘图功能)
8. [高级应用](#8-高级应用)
- [8.1 微分方程](#81-微分方程)
- [8.2 物理模块](#82-物理模块)
9. [性能优化与扩展](#9-性能优化与扩展)
10. [总结](#10-总结)
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## 1. SymPy 简介
SymPy 是一个纯 Python 编写的符号计算库,专注于数学符号运算而非数值计算。与 NumPy/SciPy 不同,它能保持表达式中的符号形式(如保留 √2 而非 1.414),适用于:
- 代数运算
- 微积分
- 离散数学
- 量子物理等场景
核心特点:
- **开源免费**:BSD 许可证
- **轻量级**:仅依赖 Python 标准库
- **可交互**:支持 Jupyter Notebook 输出 LaTeX 公式
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## 2. 安装与环境配置
通过 pip 安装:
```bash
pip install sympy
验证安装:
import sympy as sp
print(sp.__version__) # 输出版本号
推荐配合 Jupyter 使用以实现更好的公式渲染:
sp.init_printing(use_latex=True) # 启用 LaTeX 输出
x, y = sp.symbols('x y') # 定义符号变量
a = sp.Symbol('a', real=True) # 带约束的符号(实数)
构建表达式:
expr = x**2 + 2*y + 1
表达式操作:
expr.subs(x, 3) # 替换 x=3 → 9 + 2y + 1
expr.expand() # 展开多项式
expr.factor() # 因式分解
f = (x+1)**3
g = x**3 + 3*x**2 + 3*x + 1
sp.simplify(f - g) # 输出 0
sp.collect(expr, x) # 按 x 合并同类项
解一元方程:
sp.solve(x**2 - 4, x) # 输出 [-2, 2]
解方程组:
sp.solve([x + y - 3, x - y - 1], [x, y]) # 输出 {x: 2, y: 1}
sp.diff(sp.sin(x)*sp.exp(x), x) # 导数 → e^x*sin(x) + e^x*cos(x)
高阶导数:
sp.diff(x**4, x, 3) # 三阶导数 → 24x
不定积分:
sp.integrate(sp.cos(x), x) # → sin(x)
定积分:
sp.integrate(sp.exp(-x), (x, 0, sp.oo)) # 0到∞积分 → 1
计算极限:
sp.limit(sp.sin(x)/x, x, 0) # → 1
泰勒展开:
sp.series(sp.exp(x), x, 0, 4) # e^x 在 x=0 处的 4 阶展开
创建矩阵:
M = sp.Matrix([[1, 2], [3, 4]])
矩阵运算:
M.det() # 行列式 → -2
M.inv() # 逆矩阵
M * M # 矩阵乘法
M.eigenvals() # 特征值 → {5/2 - sqrt(33)/2: 1, 5/2 + sqrt(33)/2: 1}
M.eigenvects() # 特征向量
基本绘图(依赖 matplotlib):
sp.plot(sp.sin(x), (x, -2*sp.pi, 2*sp.pi))
3D 绘图:
from sympy.plotting import plot3d
plot3d(sp.sin(x)*sp.cos(y), (x, -5, 5), (y, -5, 5))
解常微分方程:
f = sp.Function('f')
sp.dsolve(sp.Eq(f(x).diff(x) + f(x), 0), f(x)) # → f(x) = C₁e^(-x)
经典力学计算:
from sympy.physics.mechanics import *
t = sp.symbols('t')
# 定义质点运动
m = Particle('m', Point('p'), 1)
m.point.set_vel(N, 5*N.x + 3*N.y)
m.linear_momentum(N) # 计算动量
lambdify
将符号表达式转为 NumPy 函数
import numpy as np
f = sp.lambdify(x, sp.sin(x), 'numpy')
f(np.linspace(0, 10, 100)) # 向量化计算
multiprocessing
处理复杂任务codegen
生成优化代码
from sympy.utilities.codegen import codegen
codegen(("f", x**2 + 1), "C")[0][1] # 输出 C 代码
SymPy 的核心优势在于: - 纯 Python 实现的符号计算 - 与科学计算生态无缝集成 - 强大的公式渲染能力
典型应用场景: - 数学公式推导验证 - 教学演示 - 科学研究中的符号预处理
学习建议: 1. 从基础符号操作入手 2. 结合实际问题练习 3. 参考官方文档探索高级功能
官方资源:
- SymPy Documentation
- GitHub Repository “`
注:实际字数为约 2800 字(含代码和格式字符)。如需进一步扩展,可增加: 1. 更多应用案例(如量子力学计算) 2. 与其他库(如 SciPy、Mathematica)的对比 3. 性能优化技巧的详细说明
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