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这篇文章给大家分享的是有关C语言如何解决二叉堆问题的内容。小编觉得挺实用的,因此分享给大家做个参考,一起跟随小编过来看看吧。
堆是计算机科学中一类特殊的数据结构的统称。实现有很多,例如:大顶堆,小顶堆,斐波那契堆,左偏堆,斜堆 等等。从子结点个数上可以分为二叉堆,N叉堆等等。本文将介绍的是 二叉堆。
二叉堆本质是一棵完全二叉树,所以每次元素的插入删除都能保证 O ( l o g 2 n ) O(log_2n) O(log2n)。根据堆的偏序规则,分为 小顶堆 和 大顶堆。小顶堆,顾名思义,根结点的关键字最小;大顶堆则相反。如图所示,表示的是一个大顶堆。
以大顶堆为例,它总是满足下列性质:
1)空树是一个大顶堆;
2)大顶堆中某个结点的关键字 小于等于 其父结点的关键字;
3)大顶堆是一棵完全二叉树。有关完全二叉树的内容,可以参考:画解完全二叉树。
如下图所示,任意一个从叶子结点到根结点的路径总是一个单调不降的序列。
小顶堆只要把上文中的 小于等于 替换成 大于等于 即可。
还是以大顶堆为例,堆能够在 O ( 1 ) O(1) O(1) 的时间内,获得 关键字 最大的元素。并且能够在 O ( l o g 2 n ) O(log_2n) O(log2n) 的时间内执行插入和删除。一般用来做 优先队列 的实现。
学习堆的过程中,我们能够学到一种新的表示形式。就是:利用 数组 来表示 链式结构。怎么理解这句话呢?
由于堆本身是一棵完全二叉树,所以我们可以把每个结点,按照层序映射到一个顺序存储的数组中,然后利用每个结点在数组中的下标,来确定结点之间的关系。
如图所示,描述的是堆结点下标和结点之间的关系,结点上的数字代表的是 数组下标。从左往右按照层序进行连续递增。
根结点的编号,看作者的喜好。可以用 0 或者 1。本文的作者是 C语言 出身,所以更倾向于选择 0 作为根结点的编号(因为用 1 作为根结点编号的话,数组的第 0 个元素就浪费了)。
我们可以用一个宏定义来实现它的定义,如下:
#define root 0
那么,根结点的两个左右子树的编号,就分别为 1 和 2 了。以此类推,按照层序进行编号的话,1 的左右子树编号为 3 和 4;2 的左右子树编号为 5 和 6。
根据数学归纳法,对于编号为 i i i 的结点,它的左子树编号为 2 i + 1 2i+1 2i+1,右子树编号为 2 i + 2 2i+2 2i+2。用宏定义实现如下:
#define lson(idx) (2*idx+1) #define rson(idx) (2*idx+2)
由于这里涉及到乘 2,所以我们还可以用左移位运算来优化乘法运算,如下:
#define lson(idx) (idx << 1|1) #define rson(idx) ((idx + 1) << 1)
同样,父结点编号也可以通过数学归纳法得出,当结点编号为 i i i 时,它的父结点编号为 i − 1 2 \frac {i-1} {2} 2i−1,利用C语言实现如下:
#define parent(idx) ((idx - 1) / 2)
这里涉及到除 2,可以利用右移运算符进行优化,如下:
#define parent(idx) ((idx - 1) >> 1)
这里利用补码的性质,根结点的父结点得到的值为 -1;
堆数据元素的数据域可以定义两个:关键字 和 值,其中关键字一般是整数,方便进行比较确定大小关系;值则是用于展示用,可以是任意类型,可以用typedef struct
进行定义如下:
typedef struct { int key; // (1) void *any; // (2) }DataType;
(1) 关键字;
(2) 值,定义成一个空指针,可以用来表示任意类型;
由于堆本质上是一棵完全二叉树,所以将它一一映射到数组后,一定是连续的。我们可以用一个数组来代表一个堆,在C语言中的数组拥有一个固定长度,可以用一个Heap
结构体表示如下:
typedef struct { DataType *data; // (1) int size; // (2) int capacity; // (3) }Heap;
(1) 堆元素所在数组的首地址;
(2) 堆元素个数;
(3) 堆的最大元素个数;
两个堆元素的比较可以采用一个比较函数compareData
来完成,比较过程就是对关键字key
进行比较的过程,以大顶堆为例:
a. 大于返回 -1,代表需要执行交换;
b. 小于返回 1,代表需要执行交换;
c. 等于返回 0,代表需要执行交换;
int compareData(const DataType* a, const DataType* b) { if(a->key > b->key) { return -1; }else if(a->key < b->key) { return 1; } return 0; }
交换两个元素的位置,也是堆这种数据结构中很常见的操作,C语言实现也比较简单,如下:
void swap(DataType* a, DataType* b) { DataType tmp = *a; *a = *b; *b = tmp; }
空判定是一个查询接口,即询问堆是否是空的,实现如下:
bool HeapIsEmpty(Heap *heap) { return heap->size == 0; }
满判定是一个查询接口,即询问堆是否是满的,实现如下:
bool heapIsFull(Heap *heap) { return heap->size == heap->capacity; }
对于大顶堆而言,从它叶子结点到根结点的元素关键字一定是单调不降的,如果某个元素出现了比它的父结点大的情况,就需要进行上浮操作。
上浮操作就是对 当前结点 和 父结点 进行比较,如果它的关键字比父结点大(compareData
返回-1
的情况),将它和父结点进行交换,继续上浮操作;否则,终止上浮操作。
如图所示,代表的是一个关键字为 95 的结点,通过不断上浮,到达根结点的过程。上浮完毕以后,它还是一个大顶堆。
上浮过程的 C语言 实现如下:
void heapShiftUp(Heap* heap, int curr) { // (1) int par = parent(curr); // (2) while(par >= root) { // (3) if( compareData( &heap->data[curr], &heap->data[par] ) < 0 ) { swap(&heap->data[curr], &heap->data[par]); // (4) curr = par; par = parent(curr); }else { break; // (5) } } }
(1) heapShiftUp
这个接口是一个内部接口,所以用小写驼峰区分,用于实现对堆中元素进行插入的时候的上浮操作;
(2) curr
表示需要进行上浮操作的结点在堆中的编号,par
表示curr
的父结点编号;
(3) 如果已经是根结点,则无须进行上浮操作;
(4) 子结点的关键字 大于 父结点的关键字,则执行交换,并且更新新的 当前结点 和 父结点编号;
(5) 否则,说明已经正确归位,上浮操作结束,跳出循环;
对于大顶堆而言,从它 根结点 到 叶子结点 的元素关键字一定是单调不增的,如果某个元素出现了比它的某个子结点小的情况,就需要进行下沉操作。
下沉操作就是对 当前结点 和 关键字相对较小的子结点 进行比较,如果它的关键字比子结点小,将它和这个子结点进行交换,继续下沉操作;否则,终止下沉操作。
如图所示,代表的是一个关键字为 19 的结点,通过不断下沉,到达叶子结点的过程。下沉完毕以后,它还是一个大顶堆。
下沉过程的 C语言 实现如下:
void heapShiftDown(Heap* heap, int curr) { // (1) int son = lson(curr); // (2) while(son < heap->size) { if( rson(curr) < heap->size ) { if( compareData( &heap->data[rson(curr)], &heap->data[son] ) < 0 ) { son = rson(curr); // (3) } } if( compareData( &heap->data[son], &heap->data[curr] ) < 0 ) { swap(&heap->data[son], &heap->data[curr]); // (4) curr = son; son = lson(curr); }else { break; // (5) } }}void heapShiftDown(Heap* heap, int curr) { // (1) int son = lson(curr); // (2) while(son < heap->size) { if( rson(curr) < heap->size ) { if( compareData( &heap->data[rson(curr)], &heap->data[son] ) < 0 ) { son = rson(curr); // (3) } } if( compareData( &heap->data[son], &heap->data[curr] ) < 0 ) { swap(&heap->data[son], &heap->data[curr]); // (4) curr = son; son = lson(curr); }else { break; // (5) } } }
(1) heapShiftDown
这个接口是一个内部接口,所以用小写驼峰区分,用于对堆中元素进行删除的时候的下沉调整;
(2) curr
表示需要进行下沉操作的结点在堆中的编号,son
表示curr
的左儿子结点编号;
(3) 始终选择关键字更小的子结点;
(4) 子结点的值小于父结点,则执行交换;
(5) 否则,说明已经正确归位,下沉操作结束,跳出循环;
通过给定的数据集合,创建堆。可以先创建堆数组的内存空间,然后一个一个执行堆的插入操作。插入操作的具体实现,会在下文继续讲解。
Heap* HeapCreate(DataType *data, int dataSize, int maxSize) { // (1) int i; Heap *h = (Heap *)malloc( sizeof(Heap) ); // (2) h->data = (DataType *)malloc( sizeof(DataType) * maxSize ); // (3) h->size = 0; // (4) h->capacity = maxSize; // (5) for(i = 0; i < dataSize; ++i) { HeapPush(h, data[i]); // (6) } return h; // (7) }
(1) 给定一个元素个数为dataSize
的数组data
,创建一个最大元素个数为maxSize
的堆并返回堆的结构体指针;
(2) 利用malloc
申请堆的结构体的内存;
(3) 利用malloc
申请存储堆数据的数组的内存空间;
(4) 初始化空堆;
(5) 初始化堆最大元素个数为maxSize
;
(6) 遍历数组执行堆的插入操作,插入的具体实现HeapPush
接下来会讲到;
(7) 最后,返回堆的结构体指针;
堆元素的插入过程,就是先将元素插入堆数组的最后一个位置,然后执行上浮操作;
bool HeapPop(Heap *heap) { if(HeapIsEmpty(heap)) { return false; // (1) } heap->data[root] = heap->data[ --heap->size ]; // (2) heapShiftDown(heap, root); // (3) return true; }
(1) 堆已满,不能进行插入;
(2) 插入堆数组的最后一个位置;
(3) 对最后一个位置的 堆元素 执行上浮操作;
堆元素的删除,只能对堆顶元素进行操作,可以将数组的最后一个元素放到堆顶,然后对堆顶元素进行下沉操作。
bool HeapPop(Heap *heap) { if(HeapIsEmpty(heap)) { return false; // (1) } heap->data[root] = heap->data[ --heap->size ]; // (2) heapShiftDown(heap, root); // (3) return true; }
(1) 堆已空,无法执行删除;
(2) 将堆数组的最后一个元素放入堆顶,相当于删除了堆顶元素;
(3) 对堆顶元素执行下沉操作;
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