Python中np.linalg.norm()怎么使用

在Python的科学计算库NumPy中，np.linalg.norm() 是一个用于计算向量或矩阵范数的函数。范数是线性代数中的一个重要概念，用于衡量向量或矩阵的大小。本文将详细介绍 np.linalg.norm() 的使用方法，并通过示例代码帮助读者更好地理解其应用。

1. 什么是范数？

在数学中，范数是一个将向量或矩阵映射到非负实数的函数，通常用来衡量向量或矩阵的“大小”或“长度”。常见的范数包括：

• L1范数：向量元素的绝对值之和。
• L2范数：向量元素的平方和的平方根，也称为欧几里得范数。
• 无穷范数：向量元素的最大绝对值。

对于矩阵，范数还可以用来衡量矩阵的“大小”或“强度”，常见的矩阵范数包括Frobenius范数、谱范数等。

2. np.linalg.norm() 的基本用法

np.linalg.norm() 函数的基本语法如下：

numpy.linalg.norm(x, ord=None, axis=None, keepdims=False)

• x：输入的数组，可以是向量或矩阵。
• ord：范数的类型。默认值为 None，表示计算Frobenius范数（对于矩阵）或L2范数（对于向量）。
• axis：指定计算范数的轴。默认值为 None，表示对整个数组计算范数。
• keepdims：是否保持原数组的维度。默认值为 False。

2.1 计算向量的范数

2.1.1 L1范数

L1范数是向量元素的绝对值之和。可以通过设置 ord=1 来计算L1范数。

import numpy as np

x = np.array([1, -2, 3])
l1_norm = np.linalg.norm(x, ord=1)
print("L1范数:", l1_norm)

输出结果为：

L1范数: 6.0

2.1.2 L2范数

L2范数是向量元素的平方和的平方根。可以通过设置 ord=2 或默认值来计算L2范数。

l2_norm = np.linalg.norm(x, ord=2)
print("L2范数:", l2_norm)

输出结果为：

L2范数: 3.7416573867739413

2.1.3 无穷范数

无穷范数是向量元素的最大绝对值。可以通过设置 ord=np.inf 来计算无穷范数。

inf_norm = np.linalg.norm(x, ord=np.inf)
print("无穷范数:", inf_norm)

输出结果为：

无穷范数: 3.0

2.2 计算矩阵的范数

2.2.1 Frobenius范数

Frobenius范数是矩阵元素的平方和的平方根。可以通过设置 ord=None 或 ord='fro' 来计算Frobenius范数。

A = np.array([[1, 2], [3, 4]])
fro_norm = np.linalg.norm(A, ord='fro')
print("Frobenius范数:", fro_norm)

输出结果为：

Frobenius范数: 5.477225575051661

2.2.2 核范数

核范数是矩阵的奇异值之和。可以通过设置 ord='nuc' 来计算核范数。

nuc_norm = np.linalg.norm(A, ord='nuc')
print("核范数:", nuc_norm)

输出结果为：

核范数: 5.464985704219043

2.2.3 谱范数

谱范数是矩阵的最大奇异值。可以通过设置 ord=2 来计算谱范数。

spectral_norm = np.linalg.norm(A, ord=2)
print("谱范数:", spectral_norm)

输出结果为：

谱范数: 5.464985704219043

2.3 沿指定轴计算范数

np.linalg.norm() 还可以沿指定轴计算范数。例如，对于一个二维数组，可以沿行或列计算范数。

B = np.array([[1, 2, 3], [4, 5, 6]])

# 沿行计算L2范数
row_norm = np.linalg.norm(B, ord=2, axis=1)
print("沿行计算的L2范数:", row_norm)

# 沿列计算L1范数
col_norm = np.linalg.norm(B, ord=1, axis=0)
print("沿列计算的L1范数:", col_norm)

输出结果为：

沿行计算的L2范数: [3.74165739 8.77496439]
沿列计算的L1范数: [5. 7. 9.]

2.4 保持维度

通过设置 keepdims=True，可以在计算范数时保持原数组的维度。

row_norm_keepdims = np.linalg.norm(B, ord=2, axis=1, keepdims=True)
print("保持维度的沿行计算的L2范数:\n", row_norm_keepdims)

输出结果为：

保持维度的沿行计算的L2范数:
 [[3.74165739]
 [8.77496439]]

3. 应用示例

3.1 数据归一化

在机器学习和数据分析中，常常需要对数据进行归一化处理。使用 np.linalg.norm() 可以方便地计算向量的L2范数，并将向量归一化。

def normalize_vector(v):
    norm = np.linalg.norm(v, ord=2)
    return v / norm

v = np.array([3, 4])
normalized_v = normalize_vector(v)
print("归一化后的向量:", normalized_v)

输出结果为：

归一化后的向量: [0.6 0.8]

3.2 矩阵的奇异值分解

在矩阵分解中，奇异值分解（SVD）是一个重要的工具。np.linalg.norm() 可以用来计算矩阵的Frobenius范数，从而评估矩阵的近似误差。

U, s, Vh = np.linalg.svd(A)
reconstructed_A = U @ np.diag(s) @ Vh
error = np.linalg.norm(A - reconstructed_A, ord='fro')
print("重构误差:", error)

输出结果为：

重构误差: 0.0

4. 总结

np.linalg.norm() 是NumPy中一个非常实用的函数，能够方便地计算向量或矩阵的各种范数。通过本文的介绍，读者应该能够掌握如何使用 np.linalg.norm() 来计算L1范数、L2范数、无穷范数、Frobenius范数、核范数和谱范数，并了解其在数据归一化和矩阵分解中的应用。希望本文能够帮助读者更好地理解和使用 np.linalg.norm() 函数。