怎么使用Python代码绘制分形图案

分形图案是一种具有自相似性的几何图形，它们在自然界中随处可见，如雪花、海岸线、山脉等。分形图案的生成通常涉及递归算法和数学公式。Python作为一种强大的编程语言，提供了丰富的库和工具，可以轻松地生成和绘制分形图案。本文将介绍如何使用Python代码绘制几种常见的分形图案。

1. 准备工作

在开始之前，确保你已经安装了Python和必要的库。我们将使用matplotlib库来绘制图形，numpy库来处理数学运算。你可以通过以下命令安装这些库：

pip install matplotlib numpy

2. 绘制科赫雪花（Koch Snowflake）

科赫雪花是一种经典的分形图案，它通过递归地将线段分成更小的线段来生成。以下是生成科赫雪花的Python代码：

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np

def koch_snowflake(order, scale=10):
    def _koch_curve(points, order):
        if order == 0:
            return points
        else:
            new_points = []
            for i in range(len(points) - 1):
                p1 = points[i]
                p2 = points[i + 1]
                dx = (p2[0] - p1[0]) / 3
                dy = (p2[1] - p1[1]) / 3
                pA = (p1[0] + dx, p1[1] + dy)
                pB = (p1[0] + 2 * dx, p1[1] + 2 * dy)
                pC = (p1[0] + 1.5 * dx - np.sqrt(3) / 6 * dy, p1[1] + 1.5 * dy + np.sqrt(3) / 6 * dx)
                new_points.extend([p1, pA, pC, pB])
            new_points.append(points[-1])
            return _koch_curve(new_points, order - 1)

    initial_points = [(0, 0), (scale, 0), (scale / 2, scale * np.sqrt(3) / 2), (0, 0)]
    points = _koch_curve(initial_points, order)
    x, y = zip(*points)
    plt.figure(figsize=(8, 8))
    plt.plot(x, y)
    plt.axis('equal')
    plt.show()

koch_snowflake(order=4)

代码解释

• koch_snowflake函数是生成科赫雪花的主函数，它接受两个参数：order表示递归的深度，scale表示图形的大小。
• _koch_curve函数是递归生成科赫曲线的核心函数。它通过将每条线段分成三部分，并在中间部分生成一个等边三角形来实现分形效果。
• initial_points定义了初始的三角形顶点。
• 最后，使用matplotlib绘制生成的曲线。

3. 绘制曼德勃罗集（Mandelbrot Set）

曼德勃罗集是另一种著名的分形图案，它通过迭代复数函数生成。以下是生成曼德勃罗集的Python代码：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

def mandelbrot(c, max_iter):
    z = 0
    n = 0
    while abs(z) <= 2 and n < max_iter:
        z = z*z + c
        n += 1
    return n

def mandelbrot_set(xmin, xmax, ymin, ymax, width, height, max_iter):
    r1 = np.linspace(xmin, xmax, width)
    r2 = np.linspace(ymin, ymax, height)
    return (r1, r2, np.array([[mandelbrot(complex(r, i), max_iter) for r in r1] for i in r2]))

def plot_mandelbrot(xmin, xmax, ymin, ymax, width=800, height=800, max_iter=256):
    dpi = 72
    img_width = width / dpi
    img_height = height / dpi
    x, y, mandelbrot_set = mandelbrot_set(xmin, xmax, ymin, ymax, width, height, max_iter)
    plt.figure(figsize=(img_width, img_height), dpi=dpi)
    plt.imshow(mandelbrot_set.T, extent=[xmin, xmax, ymin, ymax], cmap='hot', origin='lower')
    plt.colorbar()
    plt.show()

plot_mandelbrot(-2.0, 1.0, -1.5, 1.5)

代码解释

• mandelbrot函数用于计算给定复数c的曼德勃罗迭代次数。
• mandelbrot_set函数生成曼德勃罗集的二维数组。
• plot_mandelbrot函数使用matplotlib绘制曼德勃罗集。

4. 绘制谢尔宾斯基三角形（Sierpinski Triangle）

谢尔宾斯基三角形是一种通过递归地将三角形分成更小的三角形来生成的分形图案。以下是生成谢尔宾斯基三角形的Python代码：

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np

def sierpinski_triangle(order, scale=10):
    def _sierpinski(points, order):
        if order == 0:
            return points
        else:
            new_points = []
            for i in range(len(points) - 1):
                p1 = points[i]
                p2 = points[i + 1]
                pA = ((p1[0] + p2[0]) / 2, (p1[1] + p2[1]) / 2)
                new_points.extend([p1, pA])
            new_points.append(points[-1])
            return _sierpinski(new_points, order - 1)

    initial_points = [(0, 0), (scale, 0), (scale / 2, scale * np.sqrt(3) / 2), (0, 0)]
    points = _sierpinski(initial_points, order)
    x, y = zip(*points)
    plt.figure(figsize=(8, 8))
    plt.plot(x, y)
    plt.axis('equal')
    plt.show()

sierpinski_triangle(order=5)

代码解释

• sierpinski_triangle函数是生成谢尔宾斯基三角形的主函数，它接受两个参数：order表示递归的深度，scale表示图形的大小。
• _sierpinski函数是递归生成谢尔宾斯基三角形的核心函数。它通过将每条线段的中点连接起来生成新的三角形。
• initial_points定义了初始的三角形顶点。
• 最后，使用matplotlib绘制生成的三角形。

5. 总结

通过以上示例，我们可以看到Python在生成和绘制分形图案方面的强大能力。无论是科赫雪花、曼德勃罗集还是谢尔宾斯基三角形，Python都能轻松应对。你可以尝试修改这些代码，生成更多有趣的分形图案，或者探索其他类型的分形图形。希望本文能为你提供一些启发，让你在分形图案的世界中尽情探索！