计算二进制中1的个数

问题：计算某个数的二进制中1的个数

思路：x = x & (x-1) 将 x 的二进制最右面的一个 1 变为 0，其余保持不变。反复操作，直到变为 0 为止，计算操作次数，即为 x 的二进制中 1 的个数。

证明：假设 x 的二进制末尾为 10...0 [末尾有 k 个 0，k = 0,1,2,...]。

则 x - 1 的二进制末尾 k+1 位为 01...1 [末尾有 k 个 1，k = 0,1,2,...]，其他与 x 相同。

从而 x & (x-1) 的末尾 k+1 位为 00...0 [末尾有 k+1 个 0，k = 0,1,2,...]，其他与 x 相同。

即 x = x & (x-1) 将 x 的最右边的一个 1 变为 0，其余位数无变化。

C++程序：

#include <iostream>
using namespace std;

int manyOne(int x){
    int countx = 0;
    while(x){
        ++countx;
        x = x&(x-1);
    }
    return countx;
}

int main(){
    cout<<manyOne(9999)<<endl;
    return 0;
}
//Output: 8

类似问题：x = x | (x+1) 将 x 的二进制最右面的一个 0 变为 1，其余保持不变。

证明：假设 x 的二进制末尾为 01...1 [末尾有 k 个 1，k = 0,1,2,...]。

则 x + 1 的二进制末尾 k+1 位为 10...0 [末尾有 k 个 0，k = 0,1,2,...]，其他与 x 相同。

从而 x | (x+1) 的末尾 k+1 位为 11...1 [末尾有 k+1 个 1，k = 0,1,2,...]，其他与 x 相同。

即 x = x | (x+1) 将 x 的最右边的一个 0 变为 1，其余位数无变化。

应用：判断一个整数 x 是否为 2 的幂。

思路：假如 x 为 2 的幂，则 x 只有最高位为 1，其余均为 0，因此按照上面的做法 x = x & (x-1) 将会为 0；反之，假如 x = x & (x-1) 为 0，则 x 只有一位为 1，其余均为 0，显然 x 为 2 的幂。

C++程序：

#include <iostream>
using namespace std;
int isTwoPow(int x){
    if( (x&(x-1)) == 0) return 1;
    else return 0;
} 
int main(){
    cout<<isTwoPow(256)<<endl;
    return 0;
}
//Output: 1