当Tomcat运行一段时间后访问变慢，可能有多种原因。下面是可能的分析历程：
查看系统资源：首先，可以通过查看系统资源使用情况来确定是否存在资源耗尽的问题。可以使用工具如top或者Windows任务管理器来查看CPU、内存和磁盘使用情况。如果CPU或内存使用率接近或达到100%，可能是由于系统资源不足导致Tomcat访问变慢。
查看Tomcat日志：查看Tomcat的日志文件，例如catalina.out，可以获得关于Tomcat运行时的信息和错误日志。如果有错误或异常出现，可能是导致访问变慢的原因之一。特别要注意是否有内存泄漏相关的错误日志。
检查数据库连接：如果应用程序使用了数据库，可以检查数据库连接是否正确关闭。如果没有正确关闭连接，可能会导致连接池耗尽或者连接泄露，从而导致访问变慢。可以使用数据库管理工具来监视数据库连接池的使用情况。
检查应用程序代码：检查应用程序的代码，特别是在长时间运行的任务中是否有效率低下的代码。例如，循环中的性能低下、频繁IO操作等。可以使用Java性能分析工具，如VisualVM或YourKit来分析应用程序的性能瓶颈。
检查Tomcat配置：检查Tomcat的配置文件，特别是server.xml和web.xml文件，确保配置参数正确设置。例如，连接池大小、线程池大小等参数。
检查网络问题：如果Tomcat访问变慢只发生在特定的网络环境下，可以考虑检查网络问题。例如，网络延迟、带宽限制等。
考虑升级Tomcat版本：如果Tomcat版本较旧，可能存在一些已知的性能问题。可以考虑升级到最新版本，以获得更好的性能和稳定性。
通过以上的分析历程，可以逐步排查导致Tomcat访问变慢的原因，并根据具体情况采取相应的解决措施。