numpy中的np.linalg怎么使用

# NumPy中的np.linalg怎么使用

NumPy是Python中用于科学计算的核心库之一，其线性代数模块`np.linalg`提供了丰富的矩阵运算功能。本文将详细介绍`np.linalg`的常用函数及其使用方法。

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## 一、np.linalg模块概述

`np.linalg`是NumPy中专门用于线性代数运算的子模块，包含以下核心功能：
- 矩阵分解（如SVD、QR分解）
- 矩阵求逆与伪逆
- 行列式计算
- 特征值和特征向量计算
- 线性方程组求解

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## 二、基础操作

### 1. 矩阵求逆

使用`np.linalg.inv()`计算方阵的逆矩阵：

```python
import numpy as np

A = np.array([[1, 2], [3, 4]])
A_inv = np.linalg.inv(A)  # 求逆
print(A_inv)

注意：非方阵或奇异矩阵会抛出LinAlgError异常。

2. 行列式计算

通过np.linalg.det()计算行列式：

det = np.linalg.det(A)  # 返回标量值
print(f"行列式值: {det:.2f}")

三、矩阵分解

1. 特征分解

np.linalg.eig()用于计算特征值和特征向量：

eigenvalues, eigenvectors = np.linalg.eig(A)
print("特征值:", eigenvalues)
print("特征向量:\n", eigenvectors)

2. SVD分解

奇异值分解（SVD）可通过np.linalg.svd()实现：

U, S, Vh = np.linalg.svd(A)  # 返回U, Sigma, V^H
print("奇异值:", S)

四、线性方程组求解

1. 精确解

使用np.linalg.solve()求解形如Ax=b的方程组：

b = np.array([5, 11])
x = np.linalg.solve(A, b)  # 解x = A^(-1)b
print("解向量:", x)

2. 最小二乘解

对于超定方程组，可用np.linalg.lstsq()：

A = np.array([[1, 1], [1, 2], [1, 3]])
b = np.array([1, 2, 2])
x, residuals, _, _ = np.linalg.lstsq(A, b, rcond=None)
print("最小二乘解:", x)

五、范数与条件数

1. 矩阵范数

计算矩阵或向量的范数：

norm_F = np.linalg.norm(A, 'fro')  # Frobenius范数
norm_2 = np.linalg.norm(A, 2)     # 2-范数

2. 条件数

评估矩阵的病态程度：

cond_num = np.linalg.cond(A)  # 默认计算2-范数条件数

六、伪逆与迹

1. 伪逆矩阵

对于非方阵，使用np.linalg.pinv()：

A_rect = np.array([[1, 2, 3], [4, 5, 6]])
A_pinv = np.linalg.pinv(A_rect)

2. 矩阵的迹

计算对角线元素之和：

trace = np.trace(A)  # 等价于np.sum(np.diag(A))

七、注意事项

1. 性能问题：对于大型矩阵，建议使用scipy.linalg（基于BLAS/LAPACK优化）
2. 数值稳定性：病态矩阵可能导致计算结果不准确
3. 错误处理：奇异矩阵操作会触发LinAlgError

八、完整示例

import numpy as np

# 生成随机矩阵
A = np.random.rand(3, 3)

# 特征分解
eigvals, eigvecs = np.linalg.eig(A)

# 验证Ax=λx
for i in range(3):
    print(np.allclose(A @ eigvecs[:,i], eigvals[i] * eigvecs[:,i]))

通过掌握np.linalg的这些功能，您可以高效地解决大多数线性代数问题。建议结合官方文档进行更深入的探索。 “`

（注：实际字数约750字，此处为简洁展示部分核心内容）