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# Matlab如何处理多项式
## 引言
多项式是数学和工程计算中的基础元素，广泛应用于信号处理、控制系统、数值分析等领域。Matlab作为强大的科学计算工具，提供了丰富的多项式操作函数。本文将详细介绍Matlab中多项式的表示方法、基本运算、求根、拟合等核心操作。
## 一、多项式的表示方法
### 1.1 系数向量表示法
在Matlab中，多项式通过**系数向量**表示，按照**降幂顺序**排列：
```matlab
% 表示多项式 p(x) = x^3 - 2x^2 + 4x + 1
p = [1 -2 4 1];
注意事项： - 缺失幂次需用0补位 - 系数可以是实数或复数 - 最高次系数不能为0（除非是零多项式）
使用Symbolic Math Toolbox可以创建符号多项式：
syms x
p = x^3 - 2*x^2 + 4*x + 1;
使用polyval函数计算多项式在某点的值：
y = polyval(p, 3); % 计算p(3)
对矩阵求值使用polyvalm：
A = [1 2; 3 4];
B = polyvalm(p, A); % 矩阵多项式求值
要求多项式阶数相同（不足补零）：
p1 = [1 2 3];
p2 = [0 1 2]; % 相当于x + 2
sum_p = p1 + p2; % x^2 + 3x + 5
使用conv函数进行卷积运算（相当于多项式乘法）：
prod_p = conv(p1, p2);
使用deconv函数进行解卷积：
[quotient, remainder] = deconv(p1, p2);
使用roots函数：
r = roots(p); % 求p(x)=0的根
使用poly函数：
p_new = poly(r); % 注意结果可能相差一个比例因子
对矩阵求特征多项式：
A = [1 2; 3 4];
char_poly = poly(A);
使用polyder函数：
dp = polyder(p); % 求导
使用polyint函数：
int_p = polyint(p, k); % k为积分常数
使用polyfit函数：
x = 0:0.1:1;
y = sin(x);
n = 3; % 拟合阶数
p_fit = polyfit(x, y, n);
计算拟合优度：
[y_fit, delta] = polyval(p_fit, x, S); % S来自polyfit
R_squared = 1 - (norm(y - y_fit)/norm(y - mean(y)))^2;
使用residue函数进行部分分式展开：
[num, den] = tfdata(sys);
[r, p, k] = residue(num, den);
使用expand函数：
syms x
expr = (x+1)^3;
expanded = expand(expr);
使用factor函数：
factored = factor(expr);
提供更强大的拟合功能：
fit(x, y, 'poly3'); % 三次多项式拟合
符号工具箱支持高级操作：
solve(p == 0, x); % 符号解
% 创建传递函数
num = [1];
den = [1 3 2];
sys = tf(num, den);
% 求极点
poles = roots(den);
% FIR滤波器设计
b = fir1(10, 0.5); % 10阶多项式
freqz(b); % 频率响应
polyval的向量化运算Matlab为多项式运算提供了全面而高效的解决方案。掌握这些工具可以显著提高科学计算效率，特别是在工程建模和数据分析领域。建议读者结合具体问题实践这些函数，并探索更多高级应用场景。
注意：本文代码基于Matlab R2021a版本，部分函数在不同版本中可能有语法差异。 “`
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