Python怎样实现杨辉三角

# Python怎样实现杨辉三角

杨辉三角（帕斯卡三角）是二项式系数在三角形中的几何排列，具有丰富的数学性质和编程实践价值。本文将介绍三种Python实现方法，并分析其优劣。

## 一、杨辉三角的数学特性

杨辉三角的第n行（从0开始）对应二项式$(a+b)^n$展开的系数，具有以下性质：
1. 每行首位和末位为1
2. 其余每个数等于它上方两数之和
3. 第n行有n+1个元素

## 二、基础实现方法

### 方法1：嵌套列表法

```python
def pascal_triangle(n):
    triangle = []
    for i in range(n):
        row = [1] * (i + 1)
        for j in range(1, i):
            row[j] = triangle[i-1][j-1] + triangle[i-1][j]
        triangle.append(row)
    return triangle

# 打印前6行
for row in pascal_triangle(6):
    print(row)

优点：直观易理解，直接体现数学定义
缺点：空间复杂度O(n²)

方法2：生成器实现

def pascal_triangle_gen(n):
    row = [1]
    for _ in range(n):
        yield row
        row = [1] + [row[i] + row[i+1] for i in range(len(row)-1)] + [1]

# 使用示例
for row in pascal_triangle_gen(5):
    print(row)

优点：内存高效，适合大三角计算
缺点：无法随机访问特定行

三、进阶优化方案

方法3：组合数公式法

利用组合数公式\(C(n,k) = \frac{n!}{k!(n-k)!}\)实现：

from math import comb

def pascal_comb(n):
    return [[comb(i, j) for j in range(i+1)] for i in range(n)]

# 示例输出
print(pascal_comb(5))

优点：数学表达简洁
缺点：重复计算阶乘，效率较低

优化版本（记忆化）：

from functools import lru_cache

@lru_cache(maxsize=None)
def fact(n):
    return 1 if n < 2 else n * fact(n-1)

def pascal_memo(n):
    return [[fact(i)//(fact(j)*fact(i-j)) for j in range(i+1)] 
            for i in range(n)]

四、格式化输出技巧

实现美观的等腰三角形输出：

def print_pretty(triangle):
    max_width = len(' '.join(map(str, triangle[-1])))
    for row in triangle:
        print(' '.join(map(str, row)).center(max_width))

# 使用示例
print_pretty(pascal_triangle(6))

输出效果：

       1       
      1 1      
     1 2 1     
    1 3 3 1    
   1 4 6 4 1   
 1 5 10 10 5 1

五、性能对比

六、实际应用场景

1. 概率计算（二项分布）
2. 多项式展开
3. 动态规划问题
4. 算法教学案例

结语

不同实现方式各有优劣，建议根据实际需求选择。生成器版本在大多数场景下表现最优，兼顾了内存效率和代码可读性。理解杨辉三角的实现有助于培养递归思维和动态规划思想。 “`