C++动态规划怎么实现查找最长公共子序列

1. 什么是动态规划

动态规划（Dynamic Programming，简称DP）是一种分阶段求解问题的算法思想。它将复杂问题分解为多个子问题，通过求解子问题的最优解来得到原问题的最优解。动态规划常用于解决最优化问题，如最长公共子序列、最短路径等。

2. 什么是最长公共子序列

最长公共子序列（Longest Common Subsequence，简称LCS）是指在两个或多个序列中，按顺序出现的最长的子序列。子序列不要求连续，但必须保持相对顺序。

例如，序列ABCBDAB和BDCAB的最长公共子序列是BCAB，长度为4。

3. 动态规划求解最长公共子序列的思路

动态规划求解最长公共子序列的核心思想是构建一个二维数组dp，其中dp[i][j]表示序列X的前i个字符和序列Y的前j个字符的最长公共子序列的长度。

3.1 状态转移方程

• 如果X[i-1] == Y[j-1]，则dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1。
• 如果X[i-1] != Y[j-1]，则dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i][j-1])。

3.2 初始化

• dp[0][j] = 0，表示空序列与Y的前j个字符的最长公共子序列长度为0。
• dp[i][0] = 0，表示X的前i个字符与空序列的最长公共子序列长度为0。

3.3 最终结果

dp[m][n]即为序列X和Y的最长公共子序列的长度，其中m和n分别为X和Y的长度。

4. C++实现

#include <iostream>
#include <vector>
#include <string>

using namespace std;

int longestCommonSubsequence(string text1, string text2) {
    int m = text1.length();
    int n = text2.length();
    vector<vector<int>> dp(m + 1, vector<int>(n + 1, 0));

    for (int i = 1; i <= m; ++i) {
        for (int j = 1; j <= n; ++j) {
            if (text1[i - 1] == text2[j - 1]) {
                dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;
            } else {
                dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]);
            }
        }
    }

    return dp[m][n];
}

int main() {
    string text1 = "ABCBDAB";
    string text2 = "BDCAB";
    int result = longestCommonSubsequence(text1, text2);
    cout << "The length of the longest common subsequence is: " << result << endl;
    return 0;
}

4.1 代码解释

• dp数组的大小为(m+1) x (n+1)，其中m和n分别为两个输入字符串的长度。
• 双重循环遍历dp数组，根据状态转移方程更新dp[i][j]的值。
• 最终返回dp[m][n]，即最长公共子序列的长度。

4.2 输出结果

运行上述代码，输出结果为：

The length of the longest common subsequence is: 4

5. 总结

通过动态规划的方法，我们可以高效地求解两个序列的最长公共子序列问题。该方法的时间复杂度为O(m*n)，空间复杂度为O(m*n)，其中m和n分别为两个序列的长度。

在实际应用中，最长公共子序列问题常用于文本比较、基因序列分析等领域。掌握动态规划的思想和实现方法，对于解决类似的复杂问题具有重要意义。