Matlab计算变异函数并绘制经验半方差图的方法是什么

引言

在地统计学中，变异函数（Variogram）是描述空间数据变异性的重要工具。通过计算变异函数，我们可以了解数据在空间上的自相关性，从而为后续的空间插值和预测提供依据。经验半方差图（Empirical Semivariogram）是变异函数的图形表示，它展示了数据点对之间的半方差随距离变化的趋势。本文将详细介绍如何使用Matlab计算变异函数并绘制经验半方差图。

1. 变异函数的基本概念

1.1 变异函数的定义

变异函数是描述空间数据变异性的函数，通常用半方差（Semivariance）来表示。半方差的定义如下：

[ \gamma(h) = \frac{1}{2N(h)} \sum_{i=1}^{N(h)} [z(x_i) - z(x_i + h)]^2 ]

其中，( \gamma(h) ) 是距离 ( h ) 处的半方差，( N(h) ) 是距离为 ( h ) 的数据点对的数量，( z(x_i) ) 和 ( z(x_i + h) ) 分别是位置 ( x_i ) 和 ( x_i + h ) 处的观测值。

1.2 变异函数的性质

• 块金效应（Nugget Effect）：当 ( h = 0 ) 时，半方差 ( \gamma(0) ) 通常不为零，这被称为块金效应，表示测量误差或微观变异。
• 基台值（Sill）：当 ( h ) 增大到一定程度时，半方差趋于稳定，这个稳定值称为基台值。
• 变程（Range）：半方差达到基台值时的距离称为变程，表示空间自相关性的范围。

2. Matlab计算变异函数的步骤

2.1 数据准备

首先，我们需要准备空间数据。假设我们有一组二维空间数据，包含坐标和观测值。数据可以存储在一个矩阵中，其中每一行表示一个数据点，前两列是坐标，第三列是观测值。

data = [
    1, 2, 10;
    2, 3, 12;
    3, 4, 11;
    4, 5, 13;
    5, 6, 14;
    % 更多数据点...
];

2.2 计算距离矩阵

接下来，我们需要计算所有数据点对之间的距离。可以使用Matlab的pdist函数来计算距离矩阵。

distances = pdist(data(:, 1:2)); % 计算坐标之间的距离

2.3 计算半方差

根据变异函数的定义，我们需要计算每个距离区间内的半方差。首先，我们需要确定距离区间（bins）的数量和范围。

max_distance = max(distances); % 最大距离
num_bins = 10; % 距离区间的数量
bin_width = max_distance / num_bins; % 每个区间的宽度

然后，我们可以使用循环来计算每个距离区间内的半方差。

semivariances = zeros(num_bins, 1); % 初始化半方差数组
counts = zeros(num_bins, 1); % 初始化计数数组

for i = 1:length(distances)
    bin_index = ceil(distances(i) / bin_width); % 确定当前距离属于哪个区间
    if bin_index > num_bins
        bin_index = num_bins;
    end
    semivariances(bin_index) = semivariances(bin_index) + (data(i, 3) - data(i + 1, 3))^2;
    counts(bin_index) = counts(bin_index) + 1;
end

semivariances = semivariances ./ (2 * counts); % 计算平均半方差

2.4 绘制经验半方差图

最后，我们可以使用Matlab的plot函数来绘制经验半方差图。

bin_centers = (1:num_bins) * bin_width - bin_width / 2; % 计算每个区间的中心距离
plot(bin_centers, semivariances, '-o');
xlabel('距离');
ylabel('半方差');
title('经验半方差图');
grid on;

3. 使用Matlab内置函数计算变异函数

Matlab提供了内置函数variogram来计算变异函数，并绘制经验半方差图。使用内置函数可以简化计算过程。

3.1 使用variogram函数

% 假设data是一个包含坐标和观测值的矩阵
coordinates = data(:, 1:2);
values = data(:, 3);

% 计算变异函数
[distances, semivariances] = variogram(coordinates, values);

% 绘制经验半方差图
plot(distances, semivariances, '-o');
xlabel('距离');
ylabel('半方差');
title('经验半方差图');
grid on;

3.2 自定义距离区间

variogram函数允许用户自定义距离区间。可以通过设置'nrbins'参数来指定距离区间的数量。

[distances, semivariances] = variogram(coordinates, values, 'nrbins', 10);

3.3 处理缺失值

如果数据中存在缺失值，可以使用'maxdist'参数来限制计算的最大距离，以避免包含缺失值的点对。

[distances, semivariances] = variogram(coordinates, values, 'maxdist', 10);

4. 拟合理论变异函数模型

在实际应用中，我们通常需要拟合一个理论变异函数模型来描述数据的空间自相关性。常见的理论模型包括球状模型、指数模型和高斯模型。

4.1 球状模型

球状模型的公式如下：

[ \gamma(h) = \begin{cases} C_0 + C \left( \frac{3h}{2a} - \frac{h^3}{2a^3} \right) & \text{if } h \leq a \ C_0 + C & \text{if } h > a \end{cases} ]

其中，( C_0 ) 是块金效应，( C ) 是基台值，( a ) 是变程。

4.2 指数模型

指数模型的公式如下：

[ \gamma(h) = C_0 + C \left( 1 - \exp\left(-\frac{h}{a}\right) \right) ]

4.3 高斯模型

高斯模型的公式如下：

[ \gamma(h) = C_0 + C \left( 1 - \exp\left(-\frac{h^2}{a^2}\right) \right) ]

4.4 使用fitvariogram函数拟合模型

Matlab提供了fitvariogram函数来拟合理论变异函数模型。

% 假设我们已经计算了经验半方差
[distances, semivariances] = variogram(coordinates, values);

% 拟合球状模型
model = fitvariogram(distances, semivariances, 'model', 'spherical');

% 绘制拟合结果
plot(distances, semivariances, 'o');
hold on;
plot(model);
xlabel('距离');
ylabel('半方差');
title('拟合球状模型');
grid on;
legend('经验半方差', '拟合模型');

5. 应用实例

5.1 数据生成

为了演示如何使用Matlab计算变异函数并绘制经验半方差图，我们首先生成一组模拟数据。

% 生成随机坐标
rng(1); % 设置随机种子
coordinates = rand(100, 2) * 10; % 生成100个随机坐标，范围在[0, 10]

% 生成随机观测值
values = sin(coordinates(:, 1)) + cos(coordinates(:, 2)) + randn(100, 1) * 0.1;

5.2 计算变异函数

使用variogram函数计算变异函数。

[distances, semivariances] = variogram(coordinates, values);

5.3 绘制经验半方差图

plot(distances, semivariances, '-o');
xlabel('距离');
ylabel('半方差');
title('经验半方差图');
grid on;

5.4 拟合理论模型

拟合球状模型并绘制结果。

model = fitvariogram(distances, semivariances, 'model', 'spherical');

plot(distances, semivariances, 'o');
hold on;
plot(model);
xlabel('距离');
ylabel('半方差');
title('拟合球状模型');
grid on;
legend('经验半方差', '拟合模型');

6. 总结

本文详细介绍了如何使用Matlab计算变异函数并绘制经验半方差图。通过计算变异函数，我们可以了解空间数据的自相关性，从而为后续的空间插值和预测提供依据。Matlab提供了内置函数variogram和fitvariogram，使得计算和拟合变异函数变得更加简便。通过本文的实例，读者可以掌握如何使用Matlab进行空间数据分析，并应用于实际问题中。

参考文献

1. Cressie, N. A. C. (1993). Statistics for Spatial Data. Wiley.
2. Isaaks, E. H., & Srivastava, R. M. (1989). An Introduction to Applied Geostatistics. Oxford University Press.
3. Matlab Documentation: Variogram

---

通过本文的学习，读者应能够掌握使用Matlab计算变异函数并绘制经验半方差图的基本方法，并能够应用这些方法进行空间数据分析。希望本文对读者在地统计学和空间数据分析领域的研究和实践有所帮助。