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AVL树是高度平衡的二叉搜索树，较搜索树而言降低了树的高度；时间复杂度减少了使其搜索起来更方便；
1.性质：
（1）左子树和右子树高度之差绝对值不超过1；
（2）树中每个左子树和右子树都必须为AVL树；
（3）每一个节点都有一个平衡因子（-1,0,1：右子树-左子树）
（4）遍历一个二叉搜索树可以得到一个递增的有序序列
2.结构：
平衡二叉树是对二叉搜索树(又称为二叉排序树)的一种改进。二叉搜索树有一个缺点就是，树的结构是无法预料的。任意性非常大。它仅仅与节点的值和插入的顺序有关系。往往得到的是一个不平衡的二叉树。在最坏的情况下。可能得到的是一个单支二叉树，其高度和节点数同样，相当于一个单链表。对其正常的时间复杂度有O(lb n)变成了O(n)。从而丧失了二叉排序树的一些应该有的长处。
当插入一个新的节点的时候。在普通的二叉树中不用考虑树的平衡因子，仅仅要将大于根节点的值插入到右子树，小于节点的值插入到左子树，递归就可以。
而在平衡二叉树则不一样，在插入节点的时候，假设插入节点之后有一个节点的平衡因子要大于2或者小于-2的时候，他须要对其进行调整。如今仅仅考虑插入到节点的左子树部分（右子树与此同样）。主要分为下面三种情况：
(1)若插入前一部分节点的左子树高度和右子树高度相等。即平衡因子为0。插入后平衡因子变为1。仍符合平衡的条件不用调整。
(2)若插入前左子树高度小于右子树高度。即平衡因子为-1，则插入后将使平衡因子变为0，平衡性反倒得到调整，所以不必调整。
(3)若插入前左子树的高度大于右子树高度。即平衡因子为1。则插入左子树之后会使得平衡因子变为2，这种情况下就破坏了平衡二叉树的结构。所以必须对其进行调整，使其加以改善。
调整二叉树首先要明确一个定义。即最小不平衡子树。最小不平衡子树是指以离插入节点近期、且平衡因子绝对值大于1的节点做根的子树。
在构建AVL树的时候使用三叉链：parent,left,right方便回溯，也可以用递归或者栈解决；
在插入一个新节点后，一个平衡二叉树可能失衡，失衡情况下相应的调整方法
（1）右旋
（2）左旋
（3）右左双旋
（4）左右双旋
#include<iostream>
using namespace std;
template<class K,class V>
struct AVLTreeNode
{
AVLTreeNode<K ,V>*_left;
AVLTreeNode<K ,V>*_right;
AVLTreeNode<K ,V>*_parent;
K _key;
V _value;
int _bf;//平衡因子
AVLTreeNode( const K & key,const V& value ):_bf(0)
,_left(NULL)
,_right( NULL)
,_parent( NULL)
,_key( key)
,_value( value)
{}
};
template<class K,class V>
class AVLTree
{
typedef AVLTreeNode <K,V> Node;
protected:
Node* _root;
public:
AVLTree():_root( NULL)
{}
bool Insert(const K& key,const V& value)
{
if(_root==NULL )
{
_root= new Node (key,value);
return true ;
}
Node* cur=_root;
Node* parent=NULL ;
while(cur)
{
if(cur->_key>key )
{
parent=cur;
cur=cur->_left;
}
else if (cur->_key<key)
{
parent=cur;
cur=cur->_right;
}
else
{
return false ;
}
}
//插入
cur= new Node (key,value);
if(parent->_key<key )
{
parent->_right=cur;
cur->_parent=parent;
}
else
{
parent->_left=cur;
cur->_parent=parent;
}
//检查是否平衡
//1更新平衡因子，不满足条件时进行旋转
while(parent)
{
if(cur==parent->_left)
parent->_bf --;
else
parent->_bf ++;
if(parent->_bf ==0)
{
break;
}
// -1 1
else if (parent->_bf ==-1||parent->_bf ==1)
{
cur=parent;
parent=cur->_parent;
}
else
{
//旋转处理2 -2
if(cur->_bf ==1)
{
if(parent->_bf==2)
RotateL(parent);
else//-2
RotateLR(parent);
}
else
{
if(parent->_bf ==-2)
RotateR(parent);
else//2
RotateRL(parent);
}
break;
}
}
return true ;
}
//左单旋
void RotateL(Node * parent)
{
Node* subR=parent ->_right;
Node* subRL=subR->_left;
if(subRL)
subRL->_parent = parent;
subR->_left= parent;
Node* ppNode=parent ->_parent;
parent->_parent=subR;
if(ppNode==NULL )
{
_root=subR;
}
else
{
if(ppNode->_left=parent )
{
ppNode->_left=subR;
}
else
{
ppNode->_right=subR;
}
}
parent->_bf=subR->_bf=0;
}
//右单旋
void RotateR(Node * parent)
{
Node* subL=parent ->_left;
Node* subLR=subL->_right;
if(subLR)
subLR->_parent = parent;
subL->_right = parent;
Node* ppNode=parent ->_parent;
if(ppNode==NULL )
{
_root=subL;
}
else
{
if(ppNode->_left==parent )
ppNode->_left=subL;
else
ppNode->_right=subL;
}
parent->_bf =subL->_bf =0;
}
//左右双旋
void RotateLR(Node * parent)
{
Node* subL=parent ->_left;
Node* subLR=subL->_right ;
int bf=subLR->_bf ;
RotateL( parent->_left);
RotateR( parent);
//根据subLR的平衡因子修正其他节点的平衡因子
if(bf==-1)
{
subL->_bf =0;
parent->_bf =1;
}
else if (bf==1)
{
subL->_bf =-1;
parent->_bf=0;
}
}
//右左双旋
void RotateRL(Node * parent)
{
Node* subR=parent ->_right ;
Node* subRL=subR->_left ;
int bf=subRL->_bf ;
RotateR( parent->_right);
RotateL( parent);
if(bf==1)
{
subR->_bf =0;
parent->_bf =-1;
}
else if (bf==-1)
{
subR->_bf = 1;
parent->_bf = 0;
}
}
//中序遍历
void Inorder()
{
_Inorder(_root);
cout<<endl;
}
void _Inorder(Node * root)
{
if(_root==NULL )
return;
_Inorder( root->_left);
cout<< root->_key <<" " ;
_Inorder( root->_right );
}
//判断是否平衡
bool IsBalence()
{
return _IsBalence(_root);
}
bool _IsBalence(Node * root)
{
if(root ==NULL)
return true ;
int left=_Height(root ->_left );
int right= _Height(root ->_right );
if(right-left!=root ->_bf || abs(right-left)>1)
{
cout<< "节点的平衡因子异常" <<endl;
cout<< root->_key ;
return false ;
}
return _IsBalence(root ->_left)&&_IsBalence(root->_left);
}
//求子树的高度
int _Height(Node * root)
{
if(root ==NULL)
return 0;
int left=_Height(root ->_left );
int right= _Height(root ->_right );
return left>right?left+1:right+1;
}
//前边方法的优化
//后续遍历先求子书的高度的同时就可以
//判断出子树是否平衡，然后依次求根节点的高度
bool _Isbalence(Node * root, int& height )
{
if(root ==NULL)
{
height=0;
return true ;
}
if(root ->_left ==NULL&& root->_right ==NULL )
{
height=1;
returnn true;
}
int leftheight=0;
if(_Isbalence(root ->_left ,leftheight)==false)
return false ;
int rightheight=0;
if(_Isbalence(root ->_right ,rightheight)==false)
return false ;
height=leftheight>rightheight?leftheight:rightheight;
}
};
void TestTree()
{
int a[] = {16, 3, 7, 11, 9, 26, 18, 14, 15};
AVLTree<int , int> t;
for (size_t i = 0; i < sizeof(a)/ sizeof(a[0]); ++i)
{
t.Insert(a[i], i);
}
t.Inorder();
cout<< "是否平衡?" <<t.IsBalence()<<endl;
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