您遇到的问题是由于缺少steam_api.dll文件导致的。以下是解决此问题的几种方法：
重新安装Steam：首先尝试重新安装Steam客户端。从Steam官方网站下载最新版本的Steam安装程序，并运行该程序进行重新安装。这通常可以修复丢失或损坏的文件。
恢复steam_api.dll文件：如果您刚刚安装了一个新的游戏或更新了Steam，可能会导致steam_api.dll文件被删除或替换。您可以从互联网上下载steam_api.dll文件，并将其复制到Steam安装目录下的相应位置（通常是“C:\Program Files (x86)\Steam”）。请确保从可信的来源下载此文件，并注意文件的兼容性。
扫描病毒和恶意软件：有时，恶意软件可能会删除或篡改系统文件，包括steam_api.dll。运行一次完整的杀毒扫描以确保您的计算机没有受到病毒或恶意软件的感染。
运行系统文件检查工具：在命令提示符下以管理员身份运行“sfc /scannow”命令，以检查并修复系统文件的完整性。这可能需要一些时间，请耐心等待扫描和修复过程完成。
如果以上方法仍无法解决问题，建议您联系Steam客服或寻求计算机专家的帮助，以获取更进一步的支持和解决方案。