梯度下降算法

　　梯度下降法的简单介绍以及实现

　　梯度下降法的基本思想可以类比为一个下山的过程。假设这样一个场景：一个人被困在山上，需要从山上下来(i.e.找到山的最低点，也就是山谷)。但此时山上的浓雾很大，导致可视度很低。因此，下山的路径就无法确定，他必须利用自己周围的信息去找到下山的路径。这个时候，他就可以利用梯度下降算法来帮助自己下山。具体来说就是，以他当前的所处的位置为基准，寻找这个位置最陡峭的地方，然后朝着山的高度下降的地方走，同理，如果我们的目标是上山，也就是爬到山顶，那么此时应该是朝着最陡峭的方向往上走。然后每走一段距离，都反复采用同一个方法，最后就能成功的抵达山谷。

　　在这种就情况下,我们也可以假设此时周围的陡峭程度我们无法用肉眼来测量,需要一个复杂的工具来帮助我们测量,恰巧的是此人正好拥有测量最陡峭方向的能力。因此,这个人每走一段距离，都需要一段时间来测量所在位置最陡峭的方向，这是比较耗时的。那么为了在太阳下山之前到达山底，就要尽可能的减少测量方向的次数。这是一个两难的选择，如果测量的频繁，可以保证下山的方向是绝对正确的，但又非常耗时，如果测量的过少，又有偏离轨道的风险。所以需要找到一个合适的测量方向的频率，来确保下山的方向不错误，同时又不至于耗时太多!

　　梯度下降

　　梯度下降的过程就如同这个下山的场景一样

　　首先，我们有一个可微分的函数。这个函数就代表着一座山。我们的目标就是找到这个函数的最小值，也就是山底。根据之前的场景假设，最快的下山的方式就是找到当前位置最陡峭的方向，然后沿着此方向向下走，对应到函数中，就是找到给定点的梯度 ，然后朝着梯度相反的方向，就能让函数值下降的最快!因为梯度的方向就是函数之变化最快的方向(在后面会详细解释)

　　所以，我们重复利用这个方法，反复求取梯度，最后就能到达局部的最小值，这就类似于我们下山的过程。而求取梯度就确定了最陡峭的方向，也就是场景中测量方向的手段。

　　三种梯度算法的代码实现

　　导入函数包

　　import os

　　%matplotlib inline

　　import matplotlib as mpl

　　import matplotlib.pyplot as plt

　　import numpy as np

　　批量梯度下降求解线性回归

　　首先，我们需要定义数据集和学习率 接下来我们以矩阵向量的形式定义代价函数和代价函数的梯度 当循环次数超过1000次，这时候再继续迭代效果也不大了，所以这个时候可以退出循环!

　　eta = 0.1

　　n_iterations = 1000

　　m = 100

　　theta = np.random.randn(2, 1)

　　for iteration in range(n_iterations): # 限定迭代次数

　　gradients = 1/m * X_b.T.dot(X_b.dot(theta)-Y) # 梯度

　　theta = theta - eta * gradients # 更新theta

　　theta_path_bgd = []

　　def plot_gradient_descent(theta, eta, theta_path = None):

　　m = len(X_b)

　　plt.plot(X, y, "b.")

　　n_iterations = 1000

　　for iteration in range(n_iterations):

　　if iteration < 10: #取前十次

　　y_predict = X_new_b.dot(theta)

　　style = "b-"

　　plt.plot(X_new,y_predict, style)

　　gradients = 2/m * X_b.T.dot(X_b.dot(theta) - y)

　　theta = theta - eta*gradients

　　if theta_path is not None:

　　theta_path.append(theta)

　　plt.xlabel("$x_1$", fontsize=18)

　　plt.axis([0, 2, 0, 15])

　　plt.title(r"$\eta = {}$".format(eta),fontsize=16)

　　np.random.seed(42) #随机数种子

　　theta = np.random.randn(2,1) #random initialization

　　plt.figure(figsize=(10,4))

　　plt.subplot(131);plot_gradient_descent(theta, eta=0.02) # 第一个，

　　plt.ylabel("$y$", rotation=0, fontsize=18)

　　plt.subplot(132);plot_gradient_descent(theta, eta=0.1, theta_path=theta_path_bgd ) # 第二个，拟合最好，eta=0.1

　　plt.subplot(133);plot_gradient_descent(theta, eta=0.5) # 第三个

　　save_fig("gradient_descent_plot")

　　运行结果

　　随机梯度下降

　　随机梯度下降每次用一个样本来梯度下降，可能得到局部最小值。

　　theta_path_sgd = []

　　m = len(X_b)

　　np.random.seed(42)

　　n_epochs = 50

　　theta = np.random.randn(2,1) #随机初始化

　　for epoch in range(n_epochs):

　　for i in range(m):

　　if epoch == 0 and i < 10:

　　y_predict = X_new_b.dot(theta)

　　style = "b-"

　　plt.plot(X_new,y_predict,style)

　　random_index = np.random.randint(m)

　　xi = X_b[random_index:random_index+1]

　　yi = y[random_index:random_index+1]

　　gradients = 2 * xi.T.dot(xi.dot(theta)-yi)

　　eta = 0.1

　　theta = theta - eta * gradients

　　theta_path_sgd.append(theta)

　　plt.plot(x,y,"b.")

　　plt.xlabel("$x_1$",fontsize = 18)

　　plt.ylabel("$y$",rotation =0,fontsize = 18)

　　plt.axis([0,2,0,15])

　　save_fig("sgd_plot")

　　plt.show()

　　运行结果

　　小批量梯度下降

　　小批量梯度下降每次迭代使用一个以上又不是全部样本。

　　theta_path_mgd = []

　　n_iterations = 50

　　minibatch_size = 20

　　np.random.seed(42)

　　theta = np.random.randn(2,1)

　　for epoch in range(n_iterations):

　　shuffled_indices = np.random.permutation(m)

　　X_b_shuffled = X_b[shuffled_indices]

　　y_shuffled = y[shuffled_indices]

　　for i in range(0, m, minibatch_size):

　　xi = X_b_shuffled[i:i+minibatch_size]

　　yi = y_shuffled[i:i+minibatch_size]

　　gradients = 2/minibatch_size * xi.T.dot(xi.dot(theta)-yi)

　　eta = 0.1

　　theta = theta-eta*gradients

　　theta_path_mgd.append(theta)

　　三者的比较图像

　　theta_path_bgd = np.array(theta_path_bgd)

　　theta_path_sgd = np.array(theta_path_sgd)

　　theta_path_mgd = np.array(theta_path_mgd)

　　plt.figure(figsize=(7,4))

　　plt.plot(theta_path_sgd[:,0], theta_path_sgd[:,1], "r-s", linewidth = 1, label = "Stochastic")

　　plt.plot(theta_path_mgd[:,0], theta_path_mgd[:,1], "g-+", linewidth = 2, label = "Mini-batch")

　　plt.plot(theta_path_bgd[:,0], theta_path_bgd[:,1], "b-o", linewidth = 3, label = "Batch")

　　plt.legend(loc="upper left", fontsize = 16)

　　plt.xlabel(r"$\theta_0$", fontsize=20)

　　plt.ylabel(r"$\theta_1$", fontsize=20, rotation=0)

　　plt.axis([2.5,4.5,2.3,3.9])

　　save_fig("gradients_descent_paths_plot")

　　plt.show()

　　运行结果

　　总结：综合以上对比可以看出，批量梯度下降的准确度最好，其次是小批量梯度下降，最后是随机梯度下降。因为小批量梯度下降与随机梯度下降每次梯度估计的方向不确定，可能需要很长时间接近最小值点。对于训练速度来说，批量梯度下降在梯度下降的每一步中都用到了所有的训练样本，当样本量很大时，训练速度往往不能让人满意;随机梯度下降由于每次仅仅采用一个样本来迭代，所以训练速度很快;小批量

　　梯度下降每次迭代使用一个以上又不是全部样本，因此训练速度介于两者之间。