《树》之伸展树

本文介绍什么？

1. 使用伸展树有什么样的效果；
   

2. 伸展树的定义；

3. 伸展树ADT具体实现过程的描述；

4. 代码实现。

一、使用伸展树(splay tree)的效果：

              使用伸展树时，对伸展树上任意一次操作的最坏运行时间为 O( N )；但是，它保证了连续M次操作花费的最多时间为O(M ㏒N)，从而可以推算出对伸展树的每一次操作的摊还时间为O( ㏒N)。

二、伸展树的定义:

        对于一颗二查查找树进行操作时，每访问一个节点，该节点都通过旋转操作被放到根上。这样的一颗二查查找树称为伸展树。

三、伸展树ADT的描述:

        1.伸展树的节点定义与二查查找树节点定义的方法一致，此处不再赘述；

        2.比起二查查找树，伸展树ADT只是对了一个旋转操作。在这里的旋转，我们称之为展开(Splaying)。设节点X为访问的节点，我们通过对节点X进行一系列操作，将节点X移动到根节点。

        3.节点X旋转的情况:

             ⑴节点X为根节点：什么都不做；

             ⑵节点X的父节点为根节点:

                     根节点的左子树=X的右子树；

                     X的右子树=根节点；

             ⑶节点X具有父节点（P）、祖父节点（G），此时有（两类）四种情况需要考虑:

                     ⅰ、( "一" 字形) P是G的左儿子，X是P的左儿子;

                     ⅱ、( "一" 字形)P是G的右儿子，X是P的右儿子;

                     ⅲ、( "之" 字形)P是G的左儿子，X是P的右儿子;

                     ⅳ、( "之" 字形)P是G的右儿子，X是P的左儿子;

        4.节点的删除:

              由于对节点X的每一次访问都需要将X移向根节点，所以懒惰删除在这里显得不太合适，在这里需要进行的直接删除。当进行删除操作时，首先需要访问节点X，节点X被移动到根节点，此时删除X花费的代价是比较小的。在删除节点X的时候，①访问X导致节点X被移向根节点，删除节点X并得到左、右两棵子树(TL、TR)；②在右子树TR上访问最小节点Y(该节点一定没有左儿子)，将Y移动到右子树的根节点；③令Y的左儿子为左子树TL。

四、核心代码实现：

    1.伸展树的伸展实现

         ⅰ、( "一" 字形) P是G的左儿子，X是P的左儿子;

              操作:

                  G的左儿子=P的右儿子;

                  P的右儿子=G；

                  P的左儿子=X的右儿子；

                  X的右儿子=P；

//一字形（左左）

static Position ZigzigLL(Position g)
{
    Position p,x;
    p=g->left;x=p->left;
    
    g->left=p->right;
    p->right=g;
    p->left=x->right;
    x->right=p;
    
    return x;
}

ⅱ、( "一" 字形)P是G的右儿子，X是P的右儿子;

        操作:

            G的右儿子=P的左儿子；

            P的左儿子=G；

            P的右儿子=X的左儿子；

            X的左儿子=P； 

//一字形（右右）

static Position ZigzigRR(Position g)
{
    Position p,x;
    p=g->right;x=p->right;
    
    g->right=p->left;
    p->left=g;
    p->right=x->left;
    x->left=p;
    
    return x;
}

ⅲ、( "之" 字形)P是G的左儿子，X是P的右儿子;

        操作:

            G的左儿子=X的右儿子；

            X的右儿子=G;

            P的右儿子=X的左儿子；

            X的左儿子=P；

//一字形（左右）

static Position ZigzigLR(Position g)
{
    Position p,x;
    p=g->left;x=p->right;
    
    g->left=x->right;
    x->right=g;
    p->right=x->left;
    x->left=p;
    
    return x;
}

ⅳ、( "之" 字形)P是G的右儿子，X是P的左儿子;           

        操作:

            G的右儿子=X的左儿子；

            X的左儿子=G；

            P的左儿子=X的右儿子；

            X的右儿子=P；

//一字形（右左）

static Position ZigzigRL(Position g)
{
    Position p,x;
    p=g->right;x=p->left;
    
    g->right=x->left;
    x->left=g;
    p->left=x->right;
    x->right=p;
    
    return x;
}

    3.伸展树的删除操作实现

//删除节点
void Delete(const ElementType x,const sTree st)
{
    if(NULL==st) printf("该树为空树\n");
    else{
        position temp=Find(x,st);
        Position root=FindMin(temp->right);
        root->left=temp->left;
        
        free(temp);
        temp=NULL;
        return ;
    }
}