数据结构（12）_树的概念及通用树的实现

发布时间：2020-08-21 10:43:00 作者：三九感冒灵
来源：网络阅读：4728

1.树的定义与操作

1.1.树的相关定义

1.树的定义

树是一种非线性的数据结构，右n(n>=0)个结点组成的有限集合，如果n=0,称为空树，如果n>0,则：

有一个特定的结点被称之为跟结点(root)，根结点只有直接后继，没有前驱，
除根结点外的其他结点划分为m(m>=0)个互不相交的有限集合T0,T1...Tm-1，每一个集合又是一颗子树，并称之为跟的子树。
树的示例如下：

2.树中度的概念

树的结点包含一个数据及若干指向子树的分支，结点拥有的子树数目称为结点的度(度为0的结点称为叶结点；度不为0称为分支结点)；
树的度定义为所有结点中度的最大值。

3.树的前驱和后继

结点的直接后继称为该结点的孩子，相应的，该结点称为孩子的双亲；
结点的孩子的孩子，称为该结点的子孙，相应该结点称为子孙的祖先；
同一个双亲的孩子之间互称兄弟。

4.树中结点的层次

树中结点最大层次称为树的深度或高度。

5.树的有序性

如果树中结点的各个子树从左向右是有次序的，子树间不能互换位置，则称该树为有序树，否则为无序树。

6.森林的概念

1.2.树的抽象定义

与其他的数据结构一样，树的常用操作包括：插入、删除、查找(获取树的节点)、获取树的高度/深度、获取树的度、清空树中的元素等。

1.2.1.树的抽象定义
```
template < typename T >
class Tree : public Object
{
protected:
TreeNode<T>* m_root;
public:
Tree()  { m_root = NULL; }
virtual bool insert(TreeNode<T>* node) = 0;
virtual bool insert(const T& value, TreeNode<T>* node) = 0;
virtual SharedPointer<Tree<T>> remove(TreeNode<T>* node) = 0;
virtual SharedPointer<Tree<T>> remove(const T& value) = 0;
virtual TreeNode<T>* find(TreeNode<T>* node) const = 0;
virtual TreeNode<T>* find(const T& value) const = 0;
virtual TreeNode<T>* root() const = 0;
virtual int degree() const = 0;
virtual int hight() const = 0;
virtual int count() const = 0;
virtual void clear() =0;
};
```
1..2.2.树的节点的抽象定义

树的节点也表现为一种特殊的数据类型
```
template < typename T >
class TreeNode : public Object
{
public:
TreeNode<T>* m_parent;

TreeNode()
{
    m_parent = NULL;
}
virtual ~TreeNode() = 0;
};
```
树与节点的类关系：都继承自顶层父类Object，通过树的节点与树形成组合关系。

总结：
树是一种非线性的数据结构，拥有唯一前驱(父节点)和若干后继(子节点)；
树的结点包含一个数据及若干指向其他节点的指针，在程序中表现为一种特殊的数据类型。
2.树的存储结构设计

课程目标：完成树和结点的存储结构设计。
前面我们实现了树的抽象结构，本节我们实现一个通用树结构的基本框架。类继承结构如下图所示：

设计要点：
1.GTree为通用树结构，每个结点可以存在多个后继结点；
2.GTreeNode能够包含任意多指向后继结点的指针
3.实现树结构的所有操作(增、删、查、改、等)

2.1.GTreeNode的设计与实现

我们使用单链表组合完成GTreeNode的实现，便于在GTreeNode中存储多个指向其后继结点的指针；
```
template < typename T >
class GTreeNode : public TreeNode<T>
{
public:
LinkList<GTreeNode<T>*> child;
~GTreeNode(){}
};
```
2.2.GTree的设计与实现
```
template<typename T>
class GTree : public Tree<T>
{ };
```
2.3.GTree(通用树结构)的架构实现

问题：每个树结中为什么要包含指向前驱结点的指针？

3. 树的通用操作实现

3.1.树中结点的查找操作

查找方式：
基于数据元素值的查找
GTreeNode<T>* find(const T& value) const

基于结点的查找
GTreeNode<T>* find(TreeNode<T>* node) const
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基于数据元素值的查找：
定义功能函数：find (node, value)，在node为根结点的树中递归查找value所在的节点

GTreeNode<T>* find(GTreeNode<T>* node, const T& value)const
{
  GTreeNode<T>* ret = NULL;
  if(node != NULL)
  {
      //如果根结点的就是目标结点
      if(node->value == value)
      {
          ret =  node;
      }
      else
      {
          //遍历根节点的子结点
          for(node->m_children.move(0); !node->m_children.end() && (ret == NULL); node->m_children.next())
          {
              //对每个子子结点进行查找
              ret = find(node->m_children.current(), value);
          }
      }
  }
  return ret;
}

//查找结点
virtual GTreeNode<T>* find(const T& value)const
{
  return find(root(), value);
}

基于结点的查找：
定义功能函数：find(node, obj)，在node为根结点的树中递归查找是否存在obj结点；
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GTreeNode<T>* find(GTreeNode<T>* node, GTreeNode<T>* obj)const
{
  GTreeNode<T>* ret = NULL;
  //根结点为目标结点
  if(node == obj)
  {
      ret =  node;
  }
  else
  {
      if(node != NULL)
      {
          //遍历子结点
          for(node->m_children.move(0); !node->m_children.end() && (ret == NULL); node->m_children.next())
          {
              ret = find(node->m_children.current(), obj);
          }
      }
  }
  return ret;
}

virtual GTreeNode<T>* find(TreeNode<T>* node)const
{
  return find(root(), dynamic_cast<GTreeNode<T>*>(node));
}

总结：
1.查找操作是树的关键操作之一，插入函删除操作都依赖于查找操作；
2.基于数据元素的查找可以判断值是否存在于树中；基于结点的查找可以判断树中是否存在指定结点；

3.1.树中结点的插入操作

插入方式：

插入新的结点
bool insert(TreeNode<T>* node)

插入新的数据元素
bool insert(const T& value,TreeNode<T>* parent)
问题：如何指定新结点在树中的位置？
1.树是非线性的，无法采用下标的形式定位数据元素
2.每一个树结点都有一个唯一的前驱结点(父节点)，必须先找到前驱结点才能完成结点的插入；
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插入节点操作
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bool insert(TreeNode<T>* node)
{
  bool ret = true;
  if(node != NULL)
  {
      //树为空，插入结点为根结点
      if(this->m_root == NULL)
      {
          node->parent = NULL;
          this->m_root = node;
      }
      else
      {
          //找到插入结点的父结点
          GTreeNode<T>* np = find(node->parent);
          if(np != NULL)
          {
              GTreeNode<T>* n = dynamic_cast<GTreeNode<T>*>(node);
              //如果子结点中无该结点，插入结点
              if(np->m_children.find(n) < 0)
              {
                  ret = np->m_children.insert(n);
              }
          }
          else
          {
              THROW_EXCEPTION(InvalidOperationException, "Invalid node...");
          }
      }
  }
  else
  {
      THROW_EXCEPTION(InvalidParameterException, "Parameter is invalid...");
  }
  return ret;
}

插入数据元素：
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bool insert(const T& value, TreeNode<T>* parent)
{
  bool ret = true;
  GTreeNode<T>* node = GTreeNode<T>::NewNode();
  if(node != NULL)
  {
      node->value = value;
      node->parent = parent;
      insert(node);
  }
  else
  {
      THROW_EXCEPTION(NoEnoughMemoryException, "No enough memory...");
  }
  return ret;
}

总结：
1.插入操作是构建树的唯一操作，需要从堆空间中创建结点
2.执行插入操作必须正确处理指向父节点的指针

3.3.树中结点的清除操作

3.3.1.清除操作

清除操作的定义：void clear() //将树中的所有节点清除(释放堆中的节点)
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清除操作功能函数定义：
free(node) //清除node为根结点的树，释放树中的每一个结点

问题：树中的结点可能来源于不同的存储空间，如何判断堆空间中的结点并释放？
1.单凭内存地址很难准确判断具体的存储区域；
2.只有堆空间的内存才需要主动释放(delete)
3.清除操作时只需要对堆中的结点进行释放

3.3.2.工厂模式

1.在GTreeNode中增加保护成员m_flag;
2.将GTreeNode中的operator new重载为保护成员函数；
3.提供工厂方法GTreeNode<T>* NewNode()
4.在工厂方法中new新结点并将m_flage设置为true;
树结点的工厂模式示例：

template <typename T>
  class GTreeNode:public TreeNode<T>
  {
  protected:
    bool m_flag;//堆空间标识
    //重载new操作符，声明为保护
    void* operator new(unsigned int size)throw()
    {
      return Object::operator new(size);
    }

  public:
    LinkedList<GTreeNode<T>*> m_children;
    GTreeNode()
    {
      //栈上分配的空间标识为false
      m_flag = false;
    }
    //工厂方法，创建堆空间的结点
    static GTreeNode<T>* NewNode()
    {
      GTreeNode<T>* ret = new GTreeNode<T>();
      if(ret != NULL)
      {
          //堆空间的结点标识为true
          ret->m_flag = true;
      }
      return ret;
    }
    //堆空间结点标识访问函数
    bool flag()const
    {
      return m_flag;
    }
  };
//结点的释放：
    void free(GTreeNode<T>* node)
    {
      if(node != NULL)
      {
          for(node->m_children.move(0); !node->m_children.end(); node->m_children.next())
          {
              free(node->m_children.current());
          }
          //如果结点存储在堆空间
          if(node->flag())
             delete node;//释放
      }
    }
//清空树：
    void clear()
    {
        free(root());
        this->m_root = NULL;
    }

总结：
1.清除操作用于销毁树中的每个结点，需要释放对应的内存空间；
2.工厂模式可用于“定制”堆空间中的结点，只有销毁定制结点的时候需要进行释放

3.4树中结点的删除操作

删除的方式：

基于数据元素的删除
SharedPointer< Tree<T> > remove(const T& value)

基于结点的删除
SharedPointer< Tree<T> > remove(TreeNode<T>* node)
删除操作成员函数的操作要点：
1.被删除的结点所代表的子树进行删除；
2.删除函数返回一棵树堆空间中的树
3.具体返回值为指向树的智能指针对象
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实用的设计原则：
当需要从函数中返回堆中的对象时，使用智能指针(SharedPointer)作为函数的返回值。
删除操作功能函数定义：
void remove(GTreeNode<T>* node, GTree<T>*& ret)
1.将node为根结点的子树从原来的树中删除
2.Ret做为子树返回(ret指向堆空间中的树对象)
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// 删除操作功能函数
void remove(GTreeNode<T>* node, GTree<T>*& ret)
{
  ret = new GTree<T>();
  if(ret != NULL)
  {
      //如果删除的结点是根结点
      if(root() == node)
      {
          this->m_root = NULL;
      }
      else
      {
          //获取删除结点的父结点的子结点链表
          LinkedList<GTreeNode<T>*>& child = dynamic_cast<GTreeNode<T>*>(node->parent)->m_children;
          //从链表中删除结点
          child.remove(child.find(node));
          //结点的父结点置NULL
          node->parent = NULL;
      }
      //将删除结点赋值给创建的树ret的根结点
      ret->m_root = node;
  }
  else
  {
      THROW_EXCEPTION(NoEnoughMemoryException, "No enough memory...");
  }
}
// A、基于删除数据元素值删除结点

SharedPointer<Tree<T>> remove(const T& value)
{
  GTree<T>* ret = NULL;
  //找到结点
  GTreeNode<T>* node = find(value);
  if(node != NULL)
  {
      remove(node, ret);
  }
  else
  {
      THROW_EXCEPTION(InvalidParameterException, "Parameter invalid...");
  }
  return ret;
}
// B、基于结点删除

SharedPointer<Tree<T>> remove(TreeNode<T>* node)
{
  GTree<T>* ret = NULL;
  node = find(node);
  if(node != NULL)
  {
      remove(dynamic_cast<GTreeNode<T>*>(node), ret);
  }
  else
  {
      THROW_EXCEPTION(InvalidParameterException, "Parameter invalid...");
  }
  return ret;
}

总结：
1.删除操作将目标节点所代表的子树移除，返回值为指向树智能指针对象；
2.删除操作必须完善处理父节点和子节点的关系；
3.函数中返回堆中的对象时，使用智能指针作为返回值。

3.5.树的属性操作实现

3.5.1.树中结点的数目

定义功能，count(node)，在node为根结点的树中统计结点数目。
使用递归实现：结点数目 = 子树结点数目+1(根结点)。
数据结构（12）_树的概念及通用树的实现

int count(GTreeNode<T>* node) const
    {
      int ret = 0;
      if(node != NULL)
      {
          ret = 1;//根结点
          //遍历根节点的子结点
          for(node->m_children.move(0); !node->m_children.end(); node->m_children.next())
          {
              ret += count(node->m_children.current());
          }
      }
      return ret;
    }
    //树的结点数目访问函数
    int count()const
    {
        count(root());
    }

3.5.2.树的高度

功能定义：height(node)，获取node为根结点的树的高度。
递归实现：树的高度 = 子树结点高度的最大值 + 1(根结点)。
数据结构（12）_树的概念及通用树的实现

int degree(GTreeNode<T>* node) const
    {
      int ret = 0;
      if(node != NULL)
      {
          //结点的子结点的数量
          ret = node->m_children.length();
          //遍历子结点
          for(node->m_children.move(0); !node->m_children.end(); node->m_children.next())
          {
              int d = degree(node->m_children.current());
              if(ret < d)
              {
                  ret = d;
              }
          }
      }
      return ret;
    }

    //树的度访问函数
    int degree()const
    {
        return degree(root());
    }

3.5.3.树的度数

功能定义：degree(node)，获取node为结点的树的度数。
递归实现：树的度数 = 子树的最大度数 + 1(根结点)
数据结构（12）_树的概念及通用树的实现

int height(GTreeNode<T>* node)const
    {
      int ret = 0;
      if(node != NULL)
      {
          //遍历子结点
          for(node->m_children.move(0); !node->m_children.end(); node->m_children.next())
          {
              //当前结点的高度
              int h = height(node->m_children.current());
              if(ret < h)
              {
                  ret = h;
              }
          }
          ret = ret + 1;
      }
      return ret;
    }
    //树的高度访问函数
    int height()const
    {
        height(root());
    }

3.6.树形结构的层次遍历

问题：如何按照层次遍历通用树结构中的每一个数据元素？
当前的事实：- 树是一种非线性的数据结构，树的节点没有固定的编号方式；
新的需求：- 为通用树结构提供新的方法，快速遍历每一个节点
设计思路：
在树中定义一个新游标(GTreeNode<T>*)，遍历开始将游标指向根结点(root())，获取游标指向的数据元素，通过结点中的child成员移动游标；
提供一组遍历相关的函数，按层次访问树中的数据元素。
数据结构（12）_树的概念及通用树的实现
层次遍历算法：
原料：class LinkQueue<T>; 游标：LinkQueue<T>::front();
思想：

begin() 将根结点压人队列中
current() 访问队头指向的数据元素
next() 队头元素弹出，将队头元素的孩子压入队列中(核心)

end() 判断队列是否为空
数据结构（12）_树的概念及通用树的实现

//将根结点压入队列中
bool begin()
{
  bool ret = (root() != NULL);
  if(ret)
  {
      //清空队列
      m_queue.clear();
      //根节点加入队列
      m_queue.add(root());
  }
  return ret;
}
//判断队列是否为空
bool end()
{
    return (m_queue.length() == 0);
}
//队头元素弹出，将队头元素的孩子压入队列中
bool next()
{
  bool ret = (m_queue.length() > 0);
  if(ret)
  {
      GTreeNode<T>* node = m_queue.front();
      m_queue.remove();//队头元素出队
      //将队头元素的子结点入队
      for(node->m_children.move(0); !node->m_children.end(); node->m_children.next())
      {
          m_queue.add(node->m_children.current());
      }
  }
  return ret;
}
//访问队头元素指向的数据元素
T current()
{
  if(!end())
  {
      return m_queue.front()->value;
  }
  else
  {
      THROW_EXCEPTION(InvalidOperationException, "No value at current Node...");
    }
}

总结：
1.树的结点没有固定的编号方式，可以按照层次关系堆树中的结点进行遍历；
2.通过游标的思想设计成员函数，遍历函数是相互依赖，相互配合的；
3.遍历操作的核心是队列的使用。

4. 通用树的最终实现

4.1 GTree的实现

template<typename T>
class GTree : public Tree<T>
{
protected:
LinkQueue<GTreeNode<T>*> m_queue;

GTree(const GTree<T>&);
GTree<T>& operator =(const GTree<T>&);  //容器的内容不能复制

GTreeNode<T>* find(GTreeNode<T>* node, const T& value) const
{
    GTreeNode<T>* ret = NULL;

    if(node != NULL)
    {
        if(node->value == value)
        {
            ret = node;
        }
        else
        {
            // 遍历单链表(树中子结点的指针)，
            for(node->child.move(0); (!node->child.end()) && (ret==NULL); node->child.next())
            {
                ret = find(node->child.current(), value);
            }
        }
    }

    return ret;
}

GTreeNode<T>* find(GTreeNode<T>* node, GTreeNode<T>* obj) const
{
    GTreeNode<T>* ret = NULL;

    if(node != NULL)
    {
        if(node == obj)
        {
            ret = node;
        }
        else
        {
            for(node->child.move(0);!node->child.end() && (ret == NULL);node->child.next())
            {
                ret = find(node->child.current(),obj);
            }
        }
    }

    return ret;
}

//清空数的功能函数，递归是释放每个子树
void free(GTreeNode<T>* node)
{
    if(node != NULL)    //递归出口
    {
        for(node->child.move(0); !node->child.end(); node->child.next())
        {
            free(node->child.current());
        }

        //如果结点存在于堆空间，则释放
        if(node->flag())
        {
            delete node;
        }
        /*else
        {
            cout << node->value << endl;
        }*/
    }
}

// 删除操作的功能函数，(1.将node为根结点的子树从原来的树中删除 2.Ret做为子树返回(ret指向堆空间中的树对象))
void remove(GTreeNode<T>* node, GTree<T>*& ret)     //ret 是一个指针的别名
{
    ret = new GTree();

    if(ret != NULL)
    {
        if(node == root())
        {
            this->m_root = NULL;
        }
        else
        {
             //获取删除结点的父结点的子结点链表
            LinkList<GTreeNode<T>*>& child = dynamic_cast<GTreeNode<T>*>(node->m_parent)->child;
            // 从链表中删除节点
            child.remove(child.find(node));
            // 结点的父结点置NULL
            node->m_parent = NULL;
        }
        // 将删除结点赋值给创建的树ret的根结点
        ret->m_root = node;
    }
    else
    {
        THROW_EXCEPTION(NoEnoughMemoryException, "no memory to create GTree...");
    }
}

int count(GTreeNode<T>* node) const
{
    int ret = 0;

    if(node != NULL)
    {
        ret = 1;    //根结点
        //递归计算子树的节点
        for(node->child.move(0); !node->child.end(); node->child.next())
        {
            ret += count(node->child.current());
        }
    }

    return ret;
}

int height(GTreeNode<T>* node) const
{
    int ret = 0;

    if(node != NULL)
    {
        for(node->child.move(0); !node->child.end(); node->child.next())
        {
            int h = height(node->child.current());

            if(h > ret)     //获取子树高度的最大值
            {
                ret = h;
            }
        }

        ret = ret + 1/*根结点*/;
    }

    return ret;
}

int degree(GTreeNode<T>* node) const
{
    int ret = 0;

    if(node != NULL)
    {
        ret = node->child.length();

        for(node->child.move(0); !node->child.end(); node->child.next())
        {
            int d = degree(node->child.current());

            if(ret < d)
            {
                ret = d;    //获取子树高度的最大度数
            }
        }
    }

    return ret;
}
public:
GTree(){}

bool insert(TreeNode<T>* node)
{
    bool ret = true;

    if(node != NULL)
    {
        if(this->m_root == NULL)
        {
            this->m_root = node;
            node->m_parent = NULL;
        }
        else
        {
            GTreeNode<T>* np = find(node->m_parent);

            if(np != NULL)
            {
                GTreeNode<T>* n = dynamic_cast<GTreeNode<T>*>(node);

                // 防止重复插入
                if( np->child.find(n) < 0 )
                {
                    np->child.insert(n);
                }

            }
            else
            {
                THROW_EXCEPTION(InvaildParemeterException, "can't find parent node for current node...");
            }
        }
    }
    else
    {
        THROW_EXCEPTION(InvaildParemeterException, "con't insert NULL node...");
    }

    return ret;
}

bool insert(const T& value, TreeNode<T>* parent)
{
    bool ret = true;

    GTreeNode<T>* node = GTreeNode<T>::NewNode();

    if(node != NULL)
    {
        node->value = value;
        node->m_parent = parent;
        insert(node);
    }
    else
    {
        THROW_EXCEPTION(NoEnoughMemoryException, "no memory to create node... ");
    }

    return ret;
}

SharedPointer< Tree<T> > remove(const T& value)
{
    GTree<T>* ret = NULL;
    GTreeNode<T>* node = find(value);

    if(node != NULL)
    {
        remove(node, ret);
        m_queue.clear();
        m_queue.clear();
    }
    else
    {
        THROW_EXCEPTION(InvaildParemeterException, "invaild paremeter...");
    }

    return ret;
}

SharedPointer< Tree<T> > remove(TreeNode<T>* node)
{
    GTree<T>* ret = NULL;
    node = find(node);

    if(node != NULL)
    {
        remove(dynamic_cast<GTreeNode<T>*>(node), ret);
    }
    else
    {
        THROW_EXCEPTION(InvaildParemeterException, "invaild paremeter...");
    }

    return ret;
}

GTreeNode<T>* find(const T& value) const
{

    return find(root(),value);
}

GTreeNode<T>* find(TreeNode<T>* node) const
{
    return find(root(), dynamic_cast<GTreeNode<T>*>(node));
}

GTreeNode<T>* root() const
{
    return dynamic_cast<GTreeNode<T>*>(this->m_root);
}

int degree() const
{
    return degree(root());
}

int count() const
{
    return count(root());
}

int height() const
{
    return height(root());
}

void clear()
{
    free(root());
    this->m_root = NULL;
}

bool begin()
{
    bool ret = (root() != NULL);

    if(ret)
    {
        m_queue.clear();
        m_queue.enqueue(root());
    }

    return ret;
}

bool end()
{
    return (m_queue.length() == 0);
}

bool next()
{
    bool ret = (m_queue.length() > 0);

    if(ret)
    {
        GTreeNode<T>* node = m_queue.front();
        m_queue.dequeue();

        for(node->child.move(0); !node->child.end(); node->child.next())
        {
            m_queue.enqueue(node->child.current());
        }
    }

    return ret;
}

T current()
{
    if(!end())
    {
        return m_queue.front()->value;
    }
    else
    {
        THROW_EXCEPTION(InvalidOperationException, "invalid operation ...");
    }
}

~GTree()
{
    clear();
    m_queue.clear();
}
};

4.2. GTreeNode的实现

template < typename T >
class GTreeNode : public TreeNode<T>
{
protected:
    //堆空间标识,如果在堆空间中创建了结点，则置为true，以便后续释放结点时判断结点是否创建自堆空间
    bool m_flag;

    GTreeNode(const GTreeNode<T>&);
    GTreeNode<T>& operator =(const GTreeNode<T>&);  //容器的内容不能复制

    //重载new操作符，声明为保护成员
    void* operator new(unsigned int size)throw()
    {
      return Object::operator new(size);
    }
public:
    LinkList<GTreeNode<T>*> child;

    GTreeNode()
    {
        m_flag = false;
    }

    static GTreeNode<T>* NewNode()
    {
        GTreeNode<T>* ret = new GTreeNode<T>();

        if(ret != NULL)
        {
            ret->m_flag = true;  //在堆空间中申请了结点，则将该标识置为true
        }

        return ret;
    }

    //堆空间结点标识访问函数
    bool flag()const
    {
     return m_flag;
    }

    ~GTreeNode(){}
};

数据结构（12）_树的概念及通用树的实现

1.树的定义与操作

1.1.树的相关定义

1.树的定义

2.树中度的概念

3.树的前驱和后继

4.树中结点的层次

5.树的有序性

6.森林的概念

1.2.树的抽象定义

1.2.1.树的抽象定义

1..2.2.树的节点的抽象定义

2.树的存储结构设计

2.1.GTreeNode的设计与实现

2.2.GTree的设计与实现

2.3.GTree(通用树结构)的架构实现

3. 树的通用操作实现

3.1.树中结点的查找操作