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1、AVL树的插入
(1)、必须追踪插入路径，要对bf进行调整，此时不能用递归；
(2)、用栈保留路径信息，每次插入均是以叶子结点插入的;
(3)、插入一个新结点，自身的bf不用调整，其初始化为0；要调整的是栈中的平衡因子，关键在双旋时，平衡因子的调整要小心，还是调整栈中结点的平衡因子;
2、AVL树的插入算法
思路：
(1)、按照二叉搜索树的非递归实现插入数据；
(2)、 有一个父节点，记录信息，并且入栈；
(3)、栈非空，出栈，判断插入是左/右，此时给栈顶的结点平衡因子++/--，
(4)、判断bf的值，进行不同情况的处理，针对bf不满足平衡，将根据情况调用4个旋转函数进行调整；
(5)、最后实行连接工作，看栈，空的话，直接给root，否则读栈顶，比较数据大小，连接在左/右孩子;
均由C++实现：
要记住的是：栈中只保存的是插入结点的路径，其余结点的信息不在保存；
如何判断写出要用4个旋转函数，并且此时情形如何？
以上仅仅是一种情况，但是parent和p的指向我们已经理解了，其他的情形就可以看出来了;
template<typename Type>
bool AVLTree<Type>::insert(AVLNode<Type> *&t, const Type &x){
AVLNode<Type> *p = t;
AVLNode<Type> *parent = NULL; // 记录前驱结点，方便连接和调整平衡因子
stack<AVLNode<Type> *> st; //用栈记录插入的路径，方便调整栈中结点的平衡因子;
int sign;
while(p != NULL){
if(x == p->data){ //要插入的数据和AVL树中的数字相同,则返回失败！
return false;
}
parent = p;
st.push(parent); //找过的入栈
if(x < p->data){
p = p->leftChild;
}else if(x > p->data){
p = p->rightChild;
}
} // 找插入位置,不用递归，就是为了记录路径信息
p = new AVLNode<Type>(x);
if(parent == NULL){
t = p; //判断是不是第一个结点，进行root的连接;
return true;
}
if(x < parent->data){ //此时通过父节点的数据判断插入的是左还是右
parent->leftChild = p;
}else{
parent->rightChild = p;
}
//新插入点的bf为0,关键是栈中的平衡因子的调整
/////////////////////////////////////////////////////// 以上完成插入工作
while(!st.empty()){ //栈不空，出栈顶元素
parent = st.top();
st.pop();
if(p == parent->leftChild){ //判断插入的是父节点的左/右孩子,
parent->bf--; //让其bf++/--;
}else{
parent->bf++;
}
//以下判断栈中的平衡因子，看是否需要进行旋转调整
if(parent->bf == 0){ //bf=0，直接跳出循环
break;
}
if(parent->bf==1 || parent->bf==-1){
p = parent; //此时在向上走，判断bf;
}else{ //以下的bf为2/-2;利用标志判断左右旋;
sign = parent->bf > 0 ? 1 : -1;
if(p->bf == sign){ //符号相同为单旋
if(sign == 1){ //为1左旋
RotateL(parent);
}else{
RotateR(parent); //右旋
}
}else{ //符号不同，为双旋
if(sign == 1){
RotateRL(parent); //为1右左
}else{
RotateLR(parent);
}
}
/*
以下方法也可以判断左右旋
else
{
if(parent->bf < 0) //左边
{
if(p->bf<0 && p==parent->leftChild) // / 只能是左孩子
{
//RotateR(parent);
}
else if(p->bf>0 && p == parent->leftChild) // <
{
//RotateLR(parent);
}
}
else
{
if(p->bf>0 && p==parent->rightChild) // \
{
//RotateL(parent);
}
else if(p->pf<0 && p==parent->rightChild) // >
{
//RotateRL(parent);
}
}
}
*/
break;
}
}
if(st.empty()){ //通过旋转函数，此时parent指向当前根节点;
t = parent; //此时调到栈底了，旋转后将更改root的指向
}else{
AVLNode<Type> *tmp = st.top(); //当前的栈顶结点
if(parent->data < tmp->data){
tmp->leftChild = parent;
}else{
tmp->rightChild = parent;
}
}
return true;
}3、完整代码、测试代码、测试结果
(1)、完整代码
#ifndef _AVL_TREE_H_
#define _AVL_TREE_H_
#include<iostream> //引入头文件
#include<stack> //要用栈保存路径信息
using namespace std;
template<typename Type>
class AVLTree;
template<typename Type>
class AVLNode{ //AVL树的结点
friend class AVLTree<Type>;
public:
AVLNode() : data(Type()), leftChild(NULL), rightChild(NULL), bf(0){}
AVLNode(Type d, AVLNode *left = NULL, AVLNode *right = NULL)
: data(d), leftChild(left), rightChild(right), bf(0){}
~AVLNode(){}
private:
Type data;
AVLNode *leftChild;
AVLNode *rightChild;
int bf; //多了一个平衡因子
};
template<typename Type>
class AVLTree{ //AVL树的类型
public:
AVLTree() : root(NULL){}
public:
bool insert(const Type &x){
return insert(root, x);
}
void inOrder()const{
inOrder(root);
}
protected:
void inOrder(AVLNode<Type> *t)const{
if(t != NULL){
inOrder(t->leftChild);
cout<<t->data<<" : "<<t->bf<<endl;;
inOrder(t->rightChild);
}
}
bool insert(AVLNode<Type> *&t, const Type &x); //插入函数
void RotateR(AVLNode<Type> *&ptr){ //右旋
AVLNode<Type> *subR = ptr;
ptr = ptr->leftChild;
subR->leftChild = ptr->rightChild;
ptr->rightChild = subR;
ptr->bf = subR->bf = 0;
}
void RotateL(AVLNode<Type> *&ptr){ //左旋
AVLNode<Type> *subL = ptr;
ptr = subL->rightChild;
subL->rightChild = ptr->leftChild;
ptr->leftChild = subL;
subL->bf = ptr->bf = 0;
}
void RotateLR(AVLNode<Type> *&ptr){ //先左后右旋转
AVLNode<Type> *subR = ptr;
AVLNode<Type> *subL = ptr->leftChild;
ptr = subL->rightChild;
subL->rightChild = ptr->leftChild;
ptr->leftChild = subL;
if(ptr->bf <= 0){
subL->bf = 0;
}else{
subL->bf = -1;
}
subR->leftChild = ptr->rightChild;
ptr->rightChild = subR;
if(ptr->bf == -1){
subR->bf = 1;
}else{
subR->bf = 0;
}
ptr->bf = 0;
}
void RotateRL(AVLNode<Type> *&ptr){ //先右后左旋转
AVLNode<Type> *subL = ptr;
AVLNode<Type> *subR = ptr->rightChild;
ptr = subR->leftChild;
subR->leftChild = ptr->rightChild;
ptr->rightChild = subR;
if(ptr->bf >=0){
subR->bf = 0;
}else{
subR->bf = 1;
}
subL->rightChild = ptr->leftChild;
ptr->leftChild = subL;
if(ptr->bf == 1){
subL->bf = -1;
}else{
subL->bf = 0;
}
ptr->bf = 0;
}
private:
AVLNode<Type> *root;
};
template<typename Type>
bool AVLTree<Type>::insert(AVLNode<Type> *&t, const Type &x){
AVLNode<Type> *p = t;
AVLNode<Type> *parent = NULL; // 记录前驱结点，方便连接和调整平衡因子
stack<AVLNode<Type> *> st; //用栈记录插入的路径，方便调整栈中结点的平衡因子;
int sign;
while(p != NULL){
if(x == p->data){ //要插入的数据和AVL树中的数字相同,则返回失败！
return false;
}
parent = p;
st.push(parent); //找过的入栈
if(x < p->data){
p = p->leftChild;
}else if(x > p->data){
p = p->rightChild;
}
} // 找插入位置,不用递归，就是为了记录路径信息
p = new AVLNode<Type>(x);
if(parent == NULL){
t = p; //判断是不是第一个结点，进行root的连接;
return true;
}
if(x < parent->data){ //此时通过父节点的数据判断插入的是左还是右
parent->leftChild = p;
}else{
parent->rightChild = p;
}
//新插入点的bf为0,关键是栈中的平衡因子的调整
/////////////////////////////////////////////////////// 以上完成插入工作
while(!st.empty()){ //栈不空，出栈顶元素
parent = st.top();
st.pop();
if(p == parent->leftChild){ //判断插入的是父节点的左/右孩子,
parent->bf--; //让其bf++/--;
}else{
parent->bf++;
}
//以下判断栈中的平衡因子，看是否需要进行旋转调整
if(parent->bf == 0){ //bf=0，直接跳出循环
break;
}
if(parent->bf==1 || parent->bf==-1){
p = parent; //此时在向上走，判断bf;
}else{ //以下的bf为2/-2;利用标志判断左右旋;
sign = parent->bf > 0 ? 1 : -1;
if(p->bf == sign){ //符号相同为单旋
if(sign == 1){ //为1左旋
RotateL(parent);
}else{
RotateR(parent); //右旋
}
}else{ //符号不同，为双旋
if(sign == 1){
RotateRL(parent); //为1右左
}else{
RotateLR(parent);
}
}
/*
以下方法也可以判断左右旋
else
{
if(parent->bf < 0) //左边
{
if(p->bf<0 && p==parent->leftChild) // / 只能是左孩子
{
//RotateR(parent);
}
else if(p->bf>0 && p == parent->leftChild) // <
{
//RotateLR(parent);
}
}
else
{
if(p->bf>0 && p==parent->rightChild) // \
{
//RotateL(parent);
}
else if(p->pf<0 && p==parent->rightChild) // >
{
//RotateRL(parent);
}
}
}
*/
break;
}
}
if(st.empty()){ //通过旋转函数，此时parent指向当前根节点;
t = parent; //此时调到栈底了，旋转后将更改root的指向
}else{
AVLNode<Type> *tmp = st.top(); //当前的栈顶结点
if(parent->data < tmp->data){
tmp->leftChild = parent;
}else{
tmp->rightChild = parent;
}
}
return true;
}
#endif(2)、测试代码
#include"avlTree.h"
int main(void){
int ar[] = {16, 3, 7, 11, 9, 26, 18, 14, 15,};
int n = sizeof(ar) / sizeof(int);
AVLTree<int> avl;
for(int i = 0; i < n; i++){
avl.insert(ar[i]);
}
avl.inOrder();
return 0;
}(3)、测试结果
测试最终形成的AVL树：
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